Octobre 2017, 4e défi

El 27 octubre 2017 - Escrito por Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
Leer el artículo en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 43 :

Combien vaut

$\left ( (\sqrt{2} + 1)^7+(\sqrt{2} - 1)^7\right )^2 -\left ( (\sqrt{2} + 1)^7-(\sqrt{2} - 1)^7\right )^2$ ?

Solution du 3e défi de Octobre :

Enoncé

La réponse est Jean.

D’après les règles du jeu, le jeudi, l’enfant dit la vérité. En particulier, il dit la même chose que le lendemain (puisqu’il dit aussi la vérité le vendredi) et le contraire de ce qu’il disait l’avant-veille (puis qu’il ment le mardi). Si l’on observe les réponses qu’il a données, on s’aperçoit alors qu’aucun des jours qui viennent de s’écouler n’a cette double propriété : il n’a jamais donné la même réponse deux jours de suite, donc les cinq premiers jours ne pouvaient pas être des jeudis, et le sixième non plus, puisqu’il a alors dit la même chose qu’au quatrième.

Ainsi, la seule possibilité est que le septième jour soit un jeudi. Il dira alors la vérité, qu’il a déjà dite le vendredi, c’est-à-dire le premier jour : il s’appelle Jean.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Comentario sobre el artículo

Octobre 2017, 4e défi

le 27 de octubre de 2017 à 08:00, par orion8

Ce nombre est de la forme $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$, il vaut donc : $4(\sqrt{2}+1)^7(\sqrt{2}-1)^7=4 \left( (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) \right)^7=4(\sqrt{2}^2-1^2)^7=4\times 1^7 = 4$ .
Répondre à ce message
Octobre 2017, 4e défi

le 27 de octubre de 2017 à 09:13, par Al_louarn

Si on pose $a=(\sqrt{2}+1)^7$ et $b=(\sqrt{2}-1)^7$ alors le nombre à calculer est
$x=(a+b)^2-(a-b)^2=((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))=4ab$
Or $ab=(\sqrt{2}+1)^7(\sqrt{2}-1)^7=((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1))^7=(\sqrt{2}^2-1^2)^7=1$
Donc $x=4$
Répondre à ce message

Octobre 2017, 4e défi

le 27 de octubre de 2017 à 09:54, par orion8

Un peu facile, aujourd’hui ! Pour aller un peu plus loin : si on remplace la puissance $7$ par $n$ entier quelconque, le résultat est bien sûr identique. Mais, sous Python, $n=7$ est une des rares valeurs, avec $20$, qui donne $4$ exactement... Sous Excel, ça va jusque $n=9$, puis on a encore $4$ avec $n=12$, $14$ ou $17$, puis rapidement $0$...
Répondre à ce message

Octobre 2017, 4e défi

le 27 de octubre de 2017 à 10:46, par orion8

PS. Aucun problème avec Libre Office : donne $4$ pour $n$ quelconque, et même pour des valeurs non entières !
Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexión | inscribirse | ¿contraseña olvidada?

El autor

Ana Rechtman

Un défi par semaine

Octobre 2017, 4e défi

Solution du 3e défi de Octobre :

Comentario sobre el artículo