Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Octobre 2018, 4e défi

Le 26 octobre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 43

Les racines de l’équation quadratique
$x^2+px+q=0$ sont entières. Si $p+q=198$, quelles sont les valeurs
possibles de la paire $(p,q)$ ?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

Comme aucun des six entiers positifs consécutifs
n’est divisible par $7$, ceux-ci sont de la forme $7n+1$, $7n+2$,
$\dots$, $7n+6$, avec $n$ un entier positif quelconque. Leur somme est
$S=42n+21=21(2n+1)$.

Pour que $S$ soit le carré d’un nombre entier, on doit
avoir $2n+1=21k^2$ où $k$ est un nombre impair.

Pour que $S$ soit un nombre à quatre chiffres, on doit avoir
les inégalités suivantes $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, d’où $2 < k^2 < 23$.

Ceci n’est possible que si
$k^2=9$. Donc $2n+1=21k^2=189$ et $n=94$. Par conséquent,
les nombres recherchés sont : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

Commentaire sur l'article

Octobre 2018, 4e défi

le 26 octobre 2018 à 09:24, par mong

On a
x2 +px +q = (x -a)(x-b)
soit x2 +px +q = x2 - x(a+b) +ab
soit p = -(a +b) et q = ab
p+q = ab -a -b = (a-1)(b-1) + 1
=> (a - 1) (b - 1) = 198 + 1 = 199
Or 199 est premier...
Donc, pas de solution !
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Octobre 2018, 4e défi

le 26 octobre 2018 à 09:37, par mong

oups, réponse un peu rapide...
(a - 1) (b - 1) = 199 =>
a - 1 = 1 et b - 1 = 199 ou a - 1 = 199 et b - 1 = 1
soit a = 2 et b = 200
soit b = 2 et a = 200

les relations de p et q à a et b étant symétriques, il reste :
q = a . b = 400 et p = - 202
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Octobre 2018, 4e défi

le 26 octobre 2018 à 09:45, par Mario

En prenant en compte les racines entières négatives, on obtient également la solution (p,q) = (198,0).
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Octobre 2018, 4e défi

le 26 octobre 2018 à 11:42, par ROUX

J’avais.
Je mets juste en forme.
x^2-202x+400=0
x^2+198x=0
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Ana Rechtman

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Octobre 2018, 4e défi

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