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Un défi par semaine

Octobre 2014, 5ème défi

Le 31 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 44 :

Le nombre $3^2$ satisfait la condition suivante : en lui ajoutant $2$ et en lui retranchant $2$ on obtient des nombres premiers : $3^2+2=11$, $3^2-2=7$. Trouver le plus petit nombre $n\neq 3$ tel que $n^2+2$ et $n^2-2$ soient des nombres premiers.

Solution du 4ème défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $(-202,400)$ et $(198,0)$.

Appelons $x_1$ et $x_2$ les racines de l’équation $x^2+px+q=0$. On obtient

$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+px+q$

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = x^2+px+q,$

c’est-à-dire, $x_1+x_2=-p$ et $x_1x_2=q$. Comme

$198 = p+q=-(x_1+x_2)+x_1x_2=(x_1-1)(x_2-1)-1,$

il s’ensuit que $(x_1-1)(x_2-1)=199$. Comme $x_1$, $x_2$, $x_1-1$, $x_2-1$ sont des nombres entiers et $199$ est premier, on a alors que $x_1-1=\pm 1$ et $x_2-1=\pm 199$ ou $x_1-1=\pm 199$ et $x_2-1=\pm 1$. Les solutions $(x_1,x_2)$ des systèmes d’équations antérieurs sont : $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ et $(200,2)$. De la première et la quatrième solution on obtient que $p=-2-200=-202$, $q=2 \cdot 200=400$ et, de la seconde et la troisième solution on obtient que $p=198$, $q=0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 5ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Octobre, 5ème défi

    le 31 octobre 2014 à 08:17, par gedspilett

    Bonjour

    9 semble être la solution

    Bonne journée

    Répondre à ce message

  • Octobre, 5ème défi

    le 1er novembre 2014 à 00:11, par zgreudz

    En utilisant la force brute avec Mathematica :

    f[n_] := And[PrimeQ[n^2 - 2], PrimeQ[n^2 + 2]]
    L = {} ; Do[If[f[n], AppendTo[L, n]], n, 1, 1000] ; L

    3, 9, 15, 21, 33, 117, 237, 273, 303, 309, 387, 429, 441, 447, 513, 561, 573, 609, 807, 897

    Le plus petit est bien 9 et en poussant jusqu’à 1000000 j’en ai trouvé 4000.

    Répondre à ce message

  • Octobre, 5ème défi

    le 1er novembre 2014 à 17:57, par grafton

    Puisque 3 semble jouer un rôle particulier, écrivons n=3*p+q, q étant le reste de la division de n par 3 (et donc égal à 0, 1 ou 2)

    Alors n^2+2= 9p^2+6*p*q+q^2+2. Ce nombre étant entier, il ne doit pas être divisible par 3. Ceci n’est possible que si q=0.

    Dès lors, n est un multiple de 3.

    Par ailleurs, il doit être impair, sinon n^2+2 serait divisible par 2. Seuls les nombres de la forme n=3*(2*t+1) peuvent éventuellement convenir.

    Répondre à ce message

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Ana Rechtman

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