Enunciado

La respuesta es $~659$, $~660$, $~661$, $~662$, $~663~$ y $~664$.

Como ninguno de los seis naturales positivos consecutivos es divisible por $~7$, ellos son de la forma $7n+1$, $7n+2$, $\ldots$, $7n+6$, con $~n~$ un natural positivo cualquiera. Su suma es $S=42n+21=21(2n+1)$. Para que $~S~$ sea un cuadrado perfecto, se debe tener $~2n+1=21k^2$, con $~k~$ un número impar. Para que $~S~$ sea un número de cuatro cifras, se debe tener las siguientes desigualdades: $1000\leq 21^2~ k^2\leq 9999$, de donde $~2 < k^2 < 23$. Esto solo es posible si $~k^2=9$. Por lo tanto $~2n+1=21k^2=189$ y $n=94$.

En consecuencia, los números buscados son: $659$, $660$, $661$, $662$, $663~$ y $~664$.