Enunciado

La respuesta es $~(-202,400)~$ y $~(198,0)$.

Llamemos $~x_1~$ y $~x_2~$ las raíces de la ecuación $~x^2+px+q=0$. Se obtiene

$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+px+q,$

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = x^2+px+q,$

es decir, $~x_1+x_2=-p~$ y $~x_1x_2=q$. Como

$~198 = p+q=-(x_1+x_2) + x_1x_2 = (x_1-1) (x_2-1) -1,$

resulta $~(x_1-1) (x_2-1)=199$. Como $~x_1$, $~x_2$, $~x_1-1$, $~x_2-1~$ son números naturales y $~199~$ es primo, se tiene $~x_1-1=\pm 1~$ y $~x_2-1=\pm 199$, o bien $~x_1-1=\pm 199~$ y $~x_2-1=\pm 1$. Las soluciones $~(x_1,x_2)~$ de los sistemas de ecuaciones anteriores son: $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ y $(200,2)$. De la primera y la cuarta solución se obtiene que $~p= -2-200= -202$, $~q=2 \cdot 200= 400$, y de la segunda y la tercera solución se obtiene $~p=198$, $~q=0$.