Un desafío por semana

Octubre 2015, cuarto desafío

El 23 octubre 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 23 octubre 2015
Artículo original : Octobre 2015, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 43:

Encontrar todos los tríos de enteros estrictamente positivos $(x, y, z)$ tales que

$xyz +xy+ + yz + zx + x + y + z = 243.$

Solución del tercer desafío de octubre :

Enunciado

La respuesta es $m+n=2016$.

Como $2^{2015}$ tiene $m$ dígitos sin ser una potencia de $10$, tenemos

$10^{m-1} < 2^{2015} < 10^m.$

De la misma manera,

$10^{n-1} < 5^{2015} < 10^n.$

Tenemos entonces $10^{m+n-2} < 2^{2015} \times 5^{2015} < 10^{m+n}$, de donde

$10^{2015} = 2^{2015} \times 5^{2015} = 10^{m+n-1}.$

Por lo tanto, $m+n-1=2015$ y $m+n = 2016$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Octubre 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - LOSTMOUNTAINSTUDIO / SHUTTERSTOCK

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