Pequeños ordenamientos
Agrupamientos en pares
Pista azul El 26 abril 2016El 23 agosto 2019
Artículo original : Petits arrangements Ver los comentarios
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Muchos problemas matemáticos pueden ser resueltos con la ayuda de una astuta división de los elementos de un conjunto estudiado en varias partes. La serie de tres artículos que les proponemos está dedicada a esta importante idea. El primer artículo trata de divisiones muy simples: los agrupamientos por pares. Las soluciones de los problemas-clave del artículo están en los bloques desplegables, para darle la posibilidad de tratar de resolverlos por sí mismo.
Se aconseja vivamente leer las soluciones antes de continuar con la lectura del artículo. Las soluciones de otros problemas no se dan hasta quince días después de la publicación del artículo para darle a usted tiempo de buscarlas.
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¿Se puede recubrir un tablero de 9 × 9 casilleros con dominós de manera que cada dominó cubra dos casilleros y que los dominós no se sobrepongan?

La observación principal utilizada en la solución del problema 1 es la siguiente: si algunos objetos pueden ser agrupados en pares, entonces el número de objetos considerados es par. Esta idea nos ayudará a resolver también el siguiente problema.
La hermana pequeña de Laura eligió un número entero estrictamente positivo $N$ e hizo una lista de todos sus divisores positivos (incluyendo 1 y $N$). Ella le dijo a Laura que el número de divisores positivos de $N$ es impar. Laura afirma entonces que el número $N$ es forzosamente el cuadrado de un número entero. ¿Tiene Laura razón?
Trate ahora de resolver dos problemas más usando la misma idea.
El número de un boleto está compuesto por 6 cifras (puede comenzar por uno o varios ceros). Tal número se llama afortunado si la suma de sus tres primeras cifras es igual a la suma de sus tres últimas cifras. Muestre que el número de números afortunados es par.

En una escuela de cocina hay 100 alumnos. Todas las mañanas, el director de la escuela designa un equipo de tres alumnos que debe preparar el almuerzo para toda la escuela. En cierto momento, el director de la escuela asegura que todo alumno de la escuela ha hecho equipo con cualquier otro alumno exactamente una vez. Muestre que el director se equivoca.
Pasemos ahora a problemas un poco más complicados.
La gran diagonal $D$ vincula el ángulo de abajo a la izquierda con el ángulo de arriba a la derecha de un tablero de 25 × 25 casilleros. En cada casillero se ha colocado uno de los números 1, 2, … , 25 de manera tal que:
— dos casilleros cualesquiera simétricos en relación a $D$ contengan números iguales;
— en cada línea del tablero, todos los números sean distintos de a dos.
Muestre que todos los números colocados en los casilleros de la gran diagonal $D$ son distintos de a dos.
Señalemos que en la solución del problema 5, el agrupamiento por pares concierne solamente a una parte de los números colocados en el tablero (los números colocados fuera de la gran diagonal $D$). Aquí hay aún algunos problemas cuya solución utiliza la misma idea.
Varios cubos pequeños y del mismo tamaño están pegados entre ellos. Todos los pegados se hicieron entre las caras enteras de los cubos. La superficie del objeto contenido, ¿puede estar compuesta por 2013 caras de cubos pequeños?
Veintiún peones son colocados en ciertos casilleros de un damero de 9 × 9 (a lo más un peón por casillero) de manera tal que el conjunto de peones es simétrico en relación a cada una de las dos diagonales del damero.
Demuestre que un peón está ubicado en la casilla central del tablero.
La idea de agrupamiento por pares puede también ser utilizada en otros contextos (no necesariamente para mostrar que el número de objetos considerados es par).
Cien monedas, entre las cuales hay solamente piezas de 1 o 2 euros, están alineadas sobre una mesa. El valor total de esas cien monedas es estrictamente superior a 150 euros. Muestre que -entre esas monedas- se puede encontrar dos piezas vecinas de 2 euros.

Cien personas están sentadas y repartidas de manera regular alrededor de una mesa redonda. Entre estas cien personas, las mujeres son más numerosas que los hombres. Muestre que en esa mesa se puede encontrar dos mujeres sentadas una frente a la otra.
Sea $p$ un número primo estrictamente superior a 2. Sean $m$ y $n$ dos números enteros tales que
\[
\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{p - 1}\;.
\]
Mostrar que el número $m$ es divisible por $p$.
En la solución del siguiente problema, de nuevo el agrupamiento en pares concierne solo una parte de los objetos considerados.
Muestre que la suma de todos los números afortunados (vea el problema 3) es divisible por 13.
Problemas a resolver por ustedes mismos
Problema 1. Un polígono simétrico
Consideremos un polígono que tiene 101 vértices y un eje de simetría.
Muestre que ese eje pasa al menos por un vértice del polígono.
Problema 2. Divisible por 999
Muestre que la suma de números afortunados (vea los problemas 3 y 11) es divisible por 999.
Problema 3. Tres divisores
Entre los números enteros positivos que tienen exactamente tres divisores positivos cada uno, encuentre el número más cercano a 1000.
Problema 4. Tablero de 9 × 10 casilleros
Federico puso los números enteros de 1 a 90 en los casilleros de un tablero rectangular compuesto por 9 líneas horizontales, cada una con 10 casilleros exactamente.
Cada casillero del tablero contiene un número, y cada número entero entre 1 y 90 aparece una vez en el tablero. Federico asegura que dos casilleros cualesquiera simétricos en relación al eje de simetría vertical del tablero contienen números de la misma paridad. Muestre que se equivoca.
Problema 5. Mil ampolletas
En un corredor de una escuela hay mil ampolletas enumeradas de 1 a 1000 con un interruptor debajo de cada ampolleta. Una mañana, todas las ampolletas están encendidas. El primer alumno pasa entonces por el corredor apretando todos los interruptores. Todas las ampolletas quedan apagadas después de su paso. Luego, el segundo alumno pasa apretando todos los interruptores con número par. Así, él enciende de nuevo una ampolleta cada dos. El tercer alumno pasa apretando los interruptores cuyo número es divisible por 3; el cuarto apreta los interruptores cuyo número es divisible por 4, etc. ¿Cuántas lámparas están encendidas después del paso del alumno número mil?
Los lectores están invitados a proponernos sus soluciones a los ’’Problemas a resolver por ustedes mismos’’. Las soluciones pueden ser redactadas como comentarios acerca del artículo o enviadas a la siguiente dirección:
ensortantdelecole images.math.cnrs.fr
Las mejores soluciones serán publicadas en la sección.
El equipo de la secciòn agradece a Nikita Itenberg por las ilustraciones que hizo para este artículo.
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Para citar este artículo:
Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Pequeños ordenamientos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019
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