No, eso es imposible. En efecto, supongamos que se logra recubrir el tablero de 9 × 9 con dominós de la manera pedida. Como cada dominó cubre dos casilleros, estos deben agruparse en pares, lo cual implica que el número total de casilleros es par. Ahora bien, el tablero de 9 × 9 contiene 81 casilleros, y el número 81 es impar. Esta contradicción muestra que no se puede recubrir el tablero de 9 × 9 con dominós de la manera solicitada.

Sí, Laura tiene razón. Agrupemos cada divisor positivo $d$ de $N$ con el divisor $N/d$. En general, estos dos divisores $d$ y $N/d$ son distintos, pero coinciden si $N = d^2$. De este modo, si $N$ no es un cuadrado perfecto, todos sus divisores positivos están agrupados en pares. Por el contrario, si $N$ es un cuadrado perfecto, entonces todos sus divisores positivos están agrupados en pares salvo uno: la raíz cuadrada de $N$. Por lo tanto, el número de divisores positivos de $N$ es par si $N$ no es un cuadrado perfecto, e impar si lo es.

Sea $R$ un número afortunado. Reemplazando cada cifra $r$ de $R$
por $9 - r$, se obtiene un número $\overline R$, que también afortunado.
Además, $\overline R$ es diferente de $R$ (cada cifra de $\overline R$ es diferente de la cifra correspondiente de $R$). Por lo tanto, los números afortunados pueden ser agrupados en pares $(R,{\overline R})$. En consecuencia, la cantidad de números afortunados es par.

Consideremos un alumno $E$ de la escuela. Si él hizo equipo con todo otro alumno exactamente una vez, entonces los otros alumnos de la escuela pueden ser agrupados en pares, donde cada par está formado por alumnos $A$ y $B$ tales que los alumnos $E$, $A$ y $B$ han formado un equipo. Por lo tanto, el número de otros alumnos debe ser par. Ahora bien, ese número es igual a $99$. Esta contradicción muestra que el director se equivoca.

Ya que en cada línea del tablero todos los números son distintos dos a dos, el tablero contiene veinticinco números 1, veinticinco 2, ... , veinticinco números 25. Los números 1 colocados en el tablero fuera de la gran diagonal $D$ pueden ser agrupados en pares: los dos números de cada par se encuentran en casilleros simétricos en relación a $D$. Por lo tanto, la cantidad de números 1 colocados en el tablero fuera de $D$ es par. En consecuencia, al menos un número 1 está colocado en un casillero de $D$.
De manera similar, se muestra que los casilleros de la gran diagonal $D$ contienen al menos un número 2, al menos un número 3, … , al menos un número 25. Ya que la gran diagonal $D$ está formada por 25 casilleros, se ve que todos los números colocados en los casilleros de $D$ son distintos de a dos.

Escribamos $\; n$ como el número de pequeños cubos. El número total de caras de esos cubos (antes de pegarlos) es igual a $\; 6n$. En particular, este número es par. Las caras utilizadas en el pegado están naturalmente agrupadas en pares, y cada par está formado por dos caras pegadas una contra la otra.
Por lo tanto, el número de caras utilizadas en el pegado es par. En consecuencia, el número de caras sobre la superficie del objeto obtenido es también par, y no puede ser igual a 2013.

Elijamos una diagonal $D_1$ del damero y mostremos que el número de peones sobre esta diagonal es impar.
En efecto, el conjunto de todos los peones es simétrico en relación a $D_1$.
Entonces, los peones colocados fuera de $D_1$ pueden ser agrupados en pares: los dos peones de cada par se encuentran en casilleros simétricos en relación a $D_1$. Por lo tanto, el número de peones colocados fuera de $D_1$ es par.
Ya que el número total de peones es impar, esto implica que el número de peones sobre la diagonal $D_1$ es impar.
El conjunto de peones es igualmente simétrico en relación a la otra diagonal $D_2$ del damero. Por lo tanto, el conjunto de peones colocados sobre $D_1$ es simétrico en relación al centro del damero.
Como este conjunto está formado por un número impar de peones, se obtiene que uno de esos peones debe encontrarse en el casillero central del damero.

Señalemos que el valor total de esas cien monedas es igual a $100 + N$, donde $N$ es el número de piezas de 2 euros de nuestra colección. Ya que el valor total de las cien piezas es estrictamente superior a 150 euros,
se tiene $N > 50$.
Agrupemos las cien monedas en 50 pares: la primera moneda con la segunda, la tercera con la cuarta, y así sucesivamente. Ya que $N > 50$, hay al menos un par cuyas dos monedas son de 2 euros.

Agrupemos en pares a las cien personas sentadas alrededor de la mesa:
cada par está formado por dos personas sentadas una frente a la otra.
Si ningún par está formado por dos mujeres, el número de mujeres sentadas alrededor de la mesa es inferior o igual al número de hombres, lo que contradice la hipótesis.

El número $p$ es impar, por lo tanto el número de términos en la serie
\[ 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{3}, \; \ldots \; \frac{1}{p - 1} \]
es par.
Agrupemos esos términos en pares:
$1$ y $\frac{1}{p - 1}$, $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{p - 2}$ etc.
En cada par, la suma de los dos números es de la forma $\frac{p}{i(p - i)}$, donde
$i$ es un número entero entre $1$ y $p - 1$.
Por lo tanto,
\[ \frac{m}{n} = \frac{pa}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (p - 1)}, \]
donde $a$ es un número entero.
Ya que $p$ es primo, el número $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (p - 1)$
no es divisible por $p$.
En consecuencia, $m$ es divisible por $p$.

Diremos que un número afortunado es un ’’duplicado’’ si es de la forma
\[ ABCABC, \]
donde las letras $A$, $B$ y $C$ designan cifras (que no son necesariamente diferentes de a dos).
Señalemos que
\[ ABCABC = 1000 \times ABC + ABC = 1001 \times ABC. \]
Por lo tanto, cada duplicado es divisible por 1001. Ya que
\[ 1001 = 7 \times 11 \times 13, \]
esto implica que cada duplicado es divisible por 13.

Un número afortunado que no es un duplicado no es necesariamente divisible por 13. Pero los números afortunados distintos de los duplicados pueden ser agrupados en pares :
\[ ABCDEF \]
forma un par con
\[ DEFABC. \]
Señalemos que
\[ ABCDEF + DEFABC = 1001(ABC + DEF). \]
Por lo tanto, en cada par, la suma de los dos números es divisible por 13.

En consecuencia, la suma de todos los números afortunados es divisible por 13.