Des points au hasard

Un concept de base en géométrie aléatoire est celui d’ensemble aléatoire de points. Dans le modèle le plus courant, le nombre moyen de points qui tombent dans une région donnée du plan est proportionnel à l’aire de la région, et la présence d’un point en un lieu donné ne dépend pas des positions des autres points. On l’appelle le processus ponctuel de Poisson. D’autres modèles tiennent compte de l’attraction ou de la répulsion entre les points.

Mosaïque de Voronoï

Une mosaïque aléatoire est un découpage du plan obtenu en faisant intervenir le hasard. L’exemple le plus classique est la mosaïque de Voronoï construite à partir d’un ensemble de points aléatoires appelés germes. Chaque germe détermine une cellule, constituée de la partie du plan à plus proche distance de ce germe que de n’importe quel autre. Cette cellule est un polygone convexe, dont chaque côté est une portion de la médiatrice du segment joignant deux germes.

On rencontre des mosaïques de Voronoï dans la nature comme sur le pelage des girafes, la carapace des tortues ou la structure des cellules.
On peut aussi jouer avec les mosaïques de Voronoï.

L’aiguille de Buffon (1733)

Si on laisse tomber au hasard une aiguille de longueur $a$ sur un parquet dont les lattes sont de largeur $l>a$, avec quelle probabilité l’aiguille tombe-t-elle à cheval sur deux lattes ?
Buffon montre que cette probabilité est donnée par $p=2a/(l \pi)$ (voir la preuve).

Comme on peut estimer cette probabilité en laissant tomber un très grand nombre d’aiguilles et en calculant la proportion d’aiguilles qui tombent à cheval sur deux lattes, on peut obtenir une approximation de la valeur de $\pi$.
C’est la première rencontre entre la géométrie et les probabilités.

À quoi ça sert ?

La géométrie aléatoire trouve des applications dans les nombreux domaines où l’on souhaite représenter et analyser des données spatialisées.
Les positions des relais téléphoniques peuvent par exemple être représentées par un ensemble aléatoire de points (germes), et la zone de raccordement à chaque relais par la cellule associée au germe. Ce modèle permet par exemple d’estimer la distance moyenne au relais, et donc le coût moyen d’une communication.

Pour d’autres exemples d’application, vous pouvez consulter cet article de la revue Interstices ou cette vidéo d’une conférence donnée dans le cadre du cycle « Un texte, un mathématicien ».