Huygens à Chantilly

Christiaan Huygens, un grand mathématicien et astronome néerlandais, a visité le château de Chantilly en 1693 [1]. En face du grand escalier du château, donnant sur les jardins, se trouve une fontaine. Quand on se place près de l’escalier, on entend le bruit de la fontaine s’y réfléchissant. Si le bruit de la fontaine n’est qu’un gros brouhaha, son écho sur l’escalier est une note de musique particulière. Surprenant, non ? Huygens propose une explication à ce phénomène, basée sur ses connaissances de la physique en jeu dans les intruments de musique.

Christiaan Huygens

Christiaan Huygens
par Caspar Netscher

Je veux adjouter icy au sujet de la reflexion du son une observation assez singuliere, que j’ay fait autrefois estant a la belle maison de Chantilly de la Cour ou est la statue Equestre on descend avec un degré large de....marches dans le parterre ou il y a une fontaine de celles qu’on appelle gerbe d’eau, qui fait un bruit continuel. Quand on est descendu en bas et qu’on se tient entre le degre et la fontaine on entend du costé du degré une resonance qui a un certain ton de musique qui dure continuellement, tant que la gerbe jette de l’eau. On en scavoit pas d’ou venoit ce son ou en disoit des causes peu vraisemblables ce qui me donna envie d’en chercher une meilleure. je trouvay bientost qu’il procedoit de la reflexion du bruit de la fontaine contre les pierres du degré. Car comme tout son, ou plustost bruit, reiteré par des intervalles egaux et tres petits fait un ton de musique, et que la longueur d’un tuyau d’orgue determine le ton qu’il a par sa longueur par ce que les battemens de l’air arrivent egalement dans les petits intervalles de temps que ses ondoiements emploient a faire deux fois la longueur du tuyau scavoir quand il est fermé par le bout, ainsi je concevois que chaque bruit tant soit peu distingué qui venoit de la fontaine, estant reflechi contre les marches du degré, devoit arriver a l’oreille de chacune d’autant plus tard qu’elle estoit plus eloignée, et cela par des differences de temps justement egales a celuy que les ondoiements de l’air emploient a aller et venir autant qu’estoit la largeur d’une marche. Ayant mesuré cette largueur qui estoit de 17 pouces, je fis un rouleau de papier qui avoit cette longueur, et je trouvai qu’il avoit le mesme ton qu’on entendoit au bas du degré.

Je trouvay comme j’ay dit que la gerbe n’allant point l’on cessoit d’entendre ce ton. Et aiant eu occasion d’aller a Chantilly pendant l’hyver, qu’il estoit tombé beaucoup de neige qui ostoit la forme aux marches, je remarquay que on n’entendoit rien quoyque la gerbe allast et fit du bruit a l’ordinaire.

Christiaan Huygens, Oeuvres Complètes Tome X. Correspondance 1691-1695 (ed. D.J. Korteweg).

Le château de Chantilly et son grand escalier

Le château n’est pas tel que l’a vu Huygens, mais le grand escalier donnant sur les jardins et sa statue équestre sont d’époque. Le jet d’eau de la fontaine était probablement beaucoup plus imposant alors.

Qu’est-ce qu’un son ?

Pour comprendre le phénomène sonore observé par Huygens, il faut déjà comprendre ce qu’est un son et ce qui fait qu’un son est un ton de musique.
Un son est une onde de pression qui se déplace dans l’air (ou éventuellement un autre milieu comme l’eau, les murs...). Notre oreille capte les variations de la pression et les transforme en signal pour notre cerveau. Ci-dessous un exemple de son : le profil de pression représente les variations de la pression au cours du temps et on peut écouter le son obtenu grâce à l’interface en dessous [2].

Un exemple de son

On peut constater deux choses. Tout d’abord, le son entendu n’est pas vraiment ce que l’on peut qualifier de note de musique. D’autre part, notre oreille n’entend pas chaque petit changement de pression (de l’ordre de la milliseconde) mais plutôt une phrase générale. En fait, elle n’entend pas non plus les changements lents (par exemple au milieu du son proposé ci-dessus), mais seulement les oscillations rapides. Cela se comprend quand on sait que la perception du son dans l’oreille se fait par de petits cils qui oscillent à des fréquences données et que c’est cela qui produit le signal envoyé au cerveau. Notre oreille ne capte donc que les oscillations de pression qui ont une fréquence qui entre en résonance avec celle de certains de ces cils. Les oscillations perçues sont très rapides (entre 20 et 20000 oscillations par seconde) et les changements lents de pression ne sont pas entendus.

Pour obtenir ces oscillations, nous allons regarder des signaux du type $\sin( 2\pi\omega t)$, où $\omega$ est un paramètre appelé fréquence du signal. La fréquence est exprimée en Hertz et correspond au nombre d’oscillations que fera la pression en une seconde. Ainsi, un sinus de fréquence 440Hz fera 440 aller-retours de pression en une seconde. Le résultat est le suivant (dans la suite, on ne présentera que le début du profil du signal pour mieux voir les oscillations).

Un son sinusoïdal

Cela ressemble déjà plus à une note de musique, même si le son n’est pas très expressif. On peut alors essayer de superposer plusieurs signaux du type $\sin(2\pi\omega t)$ pour exciter plusieurs types de cils dans notre oreille interne. Dans l’essai ci-dessous, on tire cinq fréquences $\omega$ au hasard et on additionne les différents $\sin(2\pi\omega t)$ obtenus avec une amplitude $a$ tirée aussi au hasard. On a donc un signal du type
\[pression(t)=a_1\sin(2\pi\omega_1 t) +a_2\sin(2\pi\omega_2 t) +a_3\sin(2\pi\omega_3 t) +a_4\sin(2\pi\omega_4 t) +a_5\sin(2\pi\omega_5 t)~.\]
On rajoute un nouveau type de graphique : la vue du spectre qui représente le profil des fréquences composant le signal, c’est-à-dire la force $a(\omega)$ du sinus de fréquence $\omega$ dans notre signal. On a ainsi cinq pics distincts dans l’exemple ci-dessous, qui correspondent à l’excitation de cinq types de cils dans notre oreille interne. Si l’apparition de spectres ici vous semble un peu étrange, allez jeter un coup d’oeil à cet article.

Un son composé de 5 fréquences

On obtient un son qui n’est clairement pas naturel, digne des synthétiseurs des années 80. Pourquoi ce son ne correspond-il pas à celui produit par les instruments de musique ? En fait, les instruments de musiques ont été construits pour produire des sons que l’oreille (ou le cerveau) trouve agréables. Ces sons sont composés de différentes fréquences qui sont à peu près multiples de la fréquence la plus basse. Nous trouvons donc agréable un son dont les fréquences sont réparties régulièrement, typiquement sous la forme $\omega_i=i\times\omega_1$. Dans la suite de cet article, c’est un tel son qui sera considéré comme un ton de musique tel qu’entendu par Huygens. Ci-dessous, quelques exemples de notes de musique où on retrouve une répartition régulière des premières fréquences.

Une imitation de guitare

Une imitation de xylophone

Une imitation de gong

A quoi ressemble un bruit de fontaine ? On peut simplement en enregistrer un et regarder son profil de pression. A l’écoute et en regardant le profil de pression, il ne ressort pas de structure très franche. On peut se dire que les multiples sons de goutelettes d’eau se produisent de façon chaotique et aléatoire [3]. On peut donc aussi essayer un son dont le profil de pression est tiré de façon aléatoire. Comme on l’entend ci-dessous, le résultat du son aléatoire est plutôt satisfaisant pour servir de modèle mathématique à un son de jet d’eau [4].

Un son de fontaine

Un son aléatoire

Bonus : une formule de maths qui s’entend !

Connaissez-vous la formule trigonométrique $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos(a)\cos(b)$ ? Si on prend une fréquence $\omega$ et une perturbation $\varepsilon$ petite, on obtient alors
\[\cos(2\pi(\omega+\varepsilon)t)+\cos(2\pi(\omega-\varepsilon)t)=2\cos(2\pi\varepsilon t)\cos(2\pi\omega t)~.\]
Si $\varepsilon$ est petit, l’oreille ne perçoit pas le $\cos(2\pi\varepsilon t)$ comme une oscillation produisant une note, mais comme une variation lente de l’amplitude de l’oscillation $\cos(2\pi\omega t)$. C’est le phénomène de battement qui permet par exemple d’accorder les instruments de musique ou que l’on entend dans l’exemple du gong ci-dessus. Voici par exemple la superposition de deux signaux de fréquences 300 et 320 Hertz que l’on entend comme un signal de 310Hz avec 10 battements par seconde. Incroyable : on peut entendre donc une formule de mathématiques !

Les battements d’une formule trigonométrique

La décomposition de Fourier d’un signal en fréquences

Joseph Fourier

Joseph Fourier
par Jules Boilly

Nous venons de voir que l’on peut créer certains signaux sonores en superposant des signaux sinusoïdaux. En fait, ceci est vrai pour tout signal : toute évolution de la pression au cours du temps peut s’écrire comme une somme de sinusoïdes. C’est Joseph Fourier qui a le premier émis cette idée en 1822 à Grenoble. La transformation de Fourier dit que tout signal $pression(t)$ peut s’écrire sous la forme
\[pression(t)=\int a(\omega)\sin(2\pi\omega t+\varphi(\omega))\,\rm{d}\omega~.\]
Dans cette écriture, il faut comprendre l’intégrale comme une somme infinie (et non pas comme une aire ou une primitive). On somme ainsi plein de signaux sinusoïdaux de fréquence $\omega$ et d’amplitude $a(\omega)$. Le décalage $\varphi(\omega)$ est une phase autorisant les signaux à ne pas démarrer au même moment. Il est important de noter que les valeurs de $a(\omega)$ et $\varphi(\omega)$ sont explicitement données par des formules très simples à utiliser.

Le profil cible

C’est l’amplitude $a(\omega)$, vue comme fonction de la fréquence $\omega$ que l’on appelle le spectre du signal. En fait, on peut même construire une machine physique à calculer le spectre $a(\omega)$ et notre oreille interne en est une. Voici un exemple où on part du profil ci-contre dessinant une demi-ellipse et un triangle et que l’on répète en boucle pour obtenir un signal sonore. On calcule le spectre $a(\omega)$ du signal obtenu et on peut recréer le signal en superposant les sinus avec les bonnes fréquences $\omega$ et les bonnes amplitudes $a(\omega)$ selon la formule ci-dessus. On peut aussi essayer de mieux voir la reconstruction du signal à partir du spectre en procédant « au ralenti ». Ci-dessous, on crée des approximations du signal en mettant un nombre de plus en plus grand des fréquences $\omega$. Les premières approximations ne font intervenir que peu des sinusoïdes apparaissant dans l’intégrale ci-dessus : le son est assez pur et le profil de pression n’a rien à voir avec le dessin « demi-ellipse+triangle ». Dans les dernières, il y a beaucoup de sinusoïdes et donc d’harmoniques et le timbre du son est plus dur. Par contre, le profil se rapproche du profil cible, à tel point que les petites oscillations rappelant la présence des sinus deviennent même invisibles.

Avec 1 sinus

Avec 5 sinus

Avec 15 sinus

Avec 50 sinus

On a donc deux visions possibles pour un même signal sonore. L’une est la vision temporelle c’est-à-dire le graphique représentant l’évolution de la pression au cours du temps, avec des variations de l’ordre de la milliseconde. L’autre est la vision fréquentielle, c’est-à-dire la représentation du spectre $a(\omega)$ avec l’intensité des différentes fréquences du signal. C’est ainsi que les représentations graphiques du paragraphe précédent sont valables pour tous les signaux. Notons que c’est justement ce spectre que perçoit notre oreille, qui est par exemple insensible au déphasage $\varphi(\omega)$ apparaissant dans la décomposition de Fourier [5].

On peut donc décomposer tout son en une somme de sinusoïdes et le spectre obtenu est très pertinent pour comprendre ce que perçoit notre oreille. Calculons donc le spectre pour le son de la fontaine et pour le son aléatoire.

Un son de fontaine

Un son aléatoire

Le spectre du son aléatoire paraît aussi aléatoire que son profil de pression. Par contre, on note une structure un peu moins aléatoire pour le son de la fontaine. Par exemple, les fréquences vers 1300 Hz sont plus représentées, ce qui explique que le cerveau est prêt à associer une note à la fontaine (environ un mi), alors qu’il ne peut le faire pour le son aléatoire. La vision fréquentielle permet ici de mieux capter la structure du son entendu.

Explication du phénomène sonore

Nous avons maintenant assez de bagages pour nous attaquer à l’explication du phénomène sonore observé par Huygens. Le texte de Huygens nous dit que le jet d’eau cause de temps en temps un bruit un peu plus grand que les autres. Le bruit rebondit ensuite sur les marches de l’escalier et revient à notre oreille. Comme le son ne se déplace qu’à vitesse finie, il y a un petit décalage entre chaque écho renvoyé par chaque marche (décalage égal au temps que met le son à faire un aller-retour de la longueur de la marche, ici environ 2,5 millisecondes). L’écho total fait donc apparaître une succession régulière de bruits un peu plus forts que le reste. C’est ce que Huygens décrit par « chaque bruit tant soit peu distingué qui venoit de la fontaine, estant reflechi contre les marches du degré, devoit arriver a l’oreille de chacune d’autant plus tard qu’elle estoit plus eloignée ».

Prenons par exemple un signal aléatoire avec un ploc un peu plus fort qui émerge et reproduisons le plusieurs fois en le décalant :

Les échos d’un « ploc ».

Le résultat obtenu fait bien entendre un ton musical, mais il ne ressemble pas vraiment à un son naturel. En outre, cette explication exige que la fontaine émette régulièrement des plocs un peu plus forts, ce qui n’est pas si clair. On néglige aussi complètement le fait que les différents échos se superposent. La note ne devrait pas être continue mais varier brusquement en intensité suivant la force des plocs réfléchis. Il faudrait aussi que ces plocs soient très fréquents puisque les échos successifs sur notre escalier d’une cinquantaine de marches s’enchainent en un huitième de seconde. Or on parle ici d’un ton de musique qui dure continuellement, tant que la gerbe jette de l’eau. Bref, l’explication de Huygens n’est pas complètement satisfaisante (ce que l’on peut pardonner puisque l’idée qu’un bruit de fontaine est à lui seul une superposition de notes de musiques ne viendra que plus de 100 ans plus tard).

Y a-t-il une meilleure explication ? Oui, si l’on tient compte du phénomène d’interférences. Un signal sinusoïdal $\sin(2\pi\omega t)$ est de période $T=1/\omega$ c’est-à-dire qu’il revient à l’identique quand on le décale du temps $T$, et donc aussi si on le décale d’un temps $2T$, $3T$... Si on superpose le signal avec une copie de lui-même décalée de ce temps $T$, on trouve bien sûr le signal multiplié par deux. On parle d’interférence constructive.

Si on additionne maintenant le signal avec une copie décalée d’une demi-période $T/2$, les creux compensent exactement les bosses. On parle d’interférence destructive.

Si on additionne plusieurs copies, chacune décalée d’un temps $\theta$ par rapport à la précédente, on obtient encore une interférence plutôt destructive si $\theta$ n’est pas un multiple entier de la période $T$.

Ces phénomènes d’interférences sont très importants pour comprendre les interactions entre plusieurs ondes. Quand un signal sinusoïdal rebondit sur les $n$ marches d’un escalier, on obtient un écho égal à la superposition de $n$ signaux sinusoïdaux, chacun décalé du précédent d’un temps $\theta$ égal au temps que met le son à faire un aller-retour de la longueur de la marche. Or, en utilisant l’exponentielle complexe et les séries géométriques, on peut montrer que
\[\sin(2\pi\omega t)+sin(2\pi\omega(t+\theta))+\sin(2\pi\omega(t+2\theta))+\ldots+\sin(2\pi\omega(t+(n-1)\theta))~~~~~~~~~\]
\[~~~~~~=\left\{ \begin{array}{ll} n\sin(2\pi\omega t) & \text{ si }\theta=kT \text{ est multiple entier de }T=1/\omega \\ \frac{\sin(n\pi\omega\theta)}{\sin(\pi\omega\theta)}~\sin(2\pi\omega(t+(n-1)\theta/2))&\text{ si }\theta\text{ n'est pas multiple entier de }T \end{array}\right.\]

Ce qu’il faut retenir ici, c’est que si le décalage $\theta$ est multiple entier de la période $T$, alors les $n$ échos du signal se superposent et s’amplifient de plus en plus quand $n$ augmente. Si $\theta$ n’est pas multiple de $T$, alors la superposition des échos est un signal sinusoïdal de même fréquence, dont l’amplitude n’explose pas quand $n$ augmente. Si on raisonne en moyenne, quand $\theta$ est multiple entier de la période $T$, alors la moyenne des sinus décalés est égale au sinus de départ. Dans le cas contraire, cette moyenne tend vers 0 quand le nombre $n$ de marches tend vers l’infini.

Reprenons notre signal sonore aléatoire imitant le bruit du jet d’eau. Nous avons vu qu’il est la superposition de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences. Quand le bruit rebondit sur les marches de l’escalier, il nous revient sous forme d’une somme de tous ses échos avec des décalages successifs d’un temps $\theta$. Tous les sinus dont la fréquence est multiple de $1/\theta$ voient leurs échos se cumuler en une interférence constructive. A l’inverse, les sinus dont la fréquence n’est pas multiple de $1/\theta$ voient leurs échos interagir en une interférence destructive, d’autant plus que le nombre $n$ de marches est grand.

Nous allons donc tenter l’expérience. On prend notre enregistrement de fontaine et on le superpose avec des échos de lui-même décalés d’un temps $θ=$2,5 ms.

Le son brut de la fontaine

Avec 1 écho

Avec 5 échos

Avec 20 échos

Pour s’assurer que le phénomène ne provient pas des plocs un peu plus forts que la moyenne, on peut faire le même test avec notre signal aléatoire.

Le signal aléatoire

Avec 1 écho

Avec 2 échos

Avec 20 échos

Conformément aux calculs ci-dessus, pour un grand nombre d’échos, les fréquences multiples de $1/\theta$ ressortent des autres fréquences qui subissent des interférences destructives. Pour un nombre suffisant de marches, on obtient alors un son faisant entendre les fréquences multiples de $1/\theta$=395 Hz, c’est-à-dire un joli sol, juste sous le la du diapason. Remarquons que cette note s’entend encore mieux avec le son aléatoire et qu’elle n’apparait qu’en fond sonore dans les échos du bruits de fontaine, un peu cachée par les bruits de l’eau. Les plocs sont donc plus une gêne qu’une explication.

Ce qui est aussi très remarquable, c’est que la note s’entend déjà avec un seul ou deux échos. En outre, la différence entre les sons ci-dessus est imperceptible sur le profil de pression mais se voit parfaitement sur le spectre (où l’on voit bien l’effet des interférences destructives sur l’amplitude des fréquences non multiples de 395 Hz) et s’entend très bien. Notre oreille parvient donc à repérer une régularité très bien cachée par le bruit dans le signal de pression.

Ce qui est pour moi le plus convaincant dans cette explication de la note entendue par Huygens est que les sons obtenus me semblent très familiers. En y faisant attention, on s’aperçoit qu’on entend régulièrement ce phénomène d’interférence d’échos pour des rebonds sur un ou plusieurs murs. Vous n’avez donc pas besoin de venir à Chantilly pour tester le phénomène (le déplacement valant quand même la peine pour le château, le musée, les chevaux et la fameuse crème). Quand vous serez en voiture dans un tunnel, à vélo sur une route mouillée près d’un mur ou que vous taperez des mains dans une pièce vide, pensez à cet article et écoutez la note obtenue.