¿Conoce usted el icosaedro ? Ya sabe, ese sólido regular [1] con 20 caras triangulares conocido desde la Antigüedad [2]. Aquí hay (¿casi ? [3]) un modelo galo-romano en cristal de roca [4].

El ’’doble-decaedro’’ del museo Carcopino de Aléria

Construcciones reales...

Tomarle una foto está bien, pero construirlo es mejor. Uno puede hacerlo a mano a partir de un modelo plano (vea por ejemplo aquí), o utilizando juegos de construcción.

Dos construcciones posibles del icosaedro

Construcción virtual...

Pero si uno quiere representarlo virtualmente, es decir, que un computador lo dibuje a través de un programa gráfico, se necesita poder especificar la posición de sus vértices. Para un computador, la posición de un punto $P$ es el dato de sus tres coordenadas $(x,y,z)$. Una pregunta surge naturalmente : ¿hay un icosaedro cuyos vértices tengan coordenadas « simples » ?
La siguiente es una posible respuesta : tome tres rectángulos de oro del mismo tamaño, es decir rectángulos iguales cuya relación de longitud y anchura sea igual al número de oro $\tau={1+\sqrt{5}\over 2}\simeq 1,61$.

Un rectángulo áureo gris

Ahora colóquelos de manera que estén centrados en el origen de la referencia, que sus lados sean paralelos a los ejes de coordenadas, que estén en tres planos diferentes y que sus contornos no se topen. Obtendrá entonces esto :

Tres rectángulo áureos grises engarzados

¿Qué tiene que ver con nuestra pregunta ? Bueno, si uno se molestó en tomar estos tres rectángulos áureos es porque ahora los doce vértices de nuestros tres rectángulos engarzados son los vértices de un icosaedro regular [5].

Tres rectángulos áureos grises engarzados y embalados

¿Construcción imposible ?

Esto permite imaginar otra construcción a manos del icosaedro : se recortan tres rectángulos áureos del mismo tamaño en cartón, se les hace una ranura al medio, y luego se desliza uno sobre los otros en forma perpendicular. Finalmente, se puede tender una tela liviana alrededor de este ’’esqueleto’’ para obtener el icosaedro de la figura anterior.

El problema es que ¡esta construcción parece imposible ! Si bien es fácil hacer deslizar uno de los rectángulos doblados a lo largo del otro, aparentemente no se puede hacerlo con los tres al mismo tiempo, a menos que se rompa el borde de uno de ellos.

¿Cómo probar la imposibilidad con dibujos ?

Imaginemos que pudiéramos construir nuestro esqueleto sin romper nuestros tres rectángulos ranurados. Si uno pudiera agrandar sus ranuras, podría deformarlos simultáneamente, como se muestra a continuación :

Esto permitiría lograr este engarzamiento de marcos :

Procediendo a la inversa entonces, uno podría separar los tres marcos de este engarzamiento sin cortarlos. De alguna manera, estaríamos desanudando el icosaedro...

Para probar que esto es, sin embargo, imposible, redondeemos el engarzamiento anterior de este modo :

¿No le recuerda nada eso ? Es un trenzado [6] que ya fue objeto de discusión en este sitio.

Para verlo, comencemos por marcar exactamente cuál lazo pasa por encima de cuál otro. Obtenemos así un diagrama [7] de nuestra trenza.

Ahora vamos a transformar este diagrama, como si los tres lazos cerrados de nuestra trenza fuesen de goma, y uno pudiera deformarlos o estirarlos sin que se corten nunca. Vamos a proceder zona por zona. Comencemos por esta zona azul :

Hagamos pasar la cuerda de abajo por debajo del cruce, como aquí :

Ahora aboquémonos a la zona rosada,

y retraigamos el lazo que está más largo sobre el otro :

Se puede proceder ahora igual con los otros dos lazos,

para llegar a esta figura :

Lo único que queda es estirar un poco las cuerdas del medio, como aquí,

para llegar, redondeando los lazos, a los anillos borromeos :

De este modo, por medio de pequeñas transformaciones elementales (en las zonas rosadas y azules), se pasó de un diagrama a otro de la misma trenza. Es un resultado general :

Dos diagramas cualesquiera de una misma trenza se deducen uno del otro mediante una sucesión finita de transformaciones elementales.

¿Cómo se relaciona esto con nuestro problema ? Bueno, si uno pudiera construir un esqueleto de icosaedro a partir de tres rectángulos ranurados sin romperlos, podría -siguiendo la transformación anterior- unir tres lazos bien separados (los bordes de los rectángulos) sin cortarlos, para obtener los anillos borromeos.
En otras palabras, uno podría efectuar esta transformación de diagramas :

Por lo tanto, según el resultado citado anteriormente, uno podría pasar de uno a otro de los diagramas de arriba mediante una secuencia de transformaciones elementales. ¡Es la imposibilidad de esto la que vamos a probar : no se puede desanudar el icosaedro !

Tricoloraciones de diagramas

La idea de lo viene a continuación se debe a Ralph Fox [10] y data de fines de los años 1950.

Establezcamos un diagrama de una trenza cualquiera (por ejemplo del nudo de trébol) :

El diagrama está formado por un cierto número de trozos (los arcos), cuyos eventuales extremos se encuentran en sus cruces. Tricolorear el diagrama es colorear cada arco de un color entre tres establecidos al comienzo (por ejemplo rojo, azul y verde), de manera que en cada cruce :

• los tres arcos involucrados sean del mismo color, o
• los tres sean de diferente color.

Por ejemplo, entre las tres figuras de abajo, sólo dos son tricoloraciones válidas del diagrama anterior.

Ahora, contemos las tricoloraciones válidas de nuestro diagrama : hay 9.

Se puede hacer el mismo trabajo con los dos diagramas ligados a nuestro problema inicial :

• el diagrama de la izquierda formado por tres anillos separados cuenta con tres arcos (los tres lazos) y ningún cruce. Por lo tanto no hay ninguna restricción de coloración : cada uno de los tres lazos puede ser coloreado con uno de los tres colores. Hay entonces $3\times 3\times 3=27$ tricoloraciones válidas para este diagrama.

• el diagrama de la derecha de los anillos borromeos, ... bueno, le dejo [11] que verifique que no se lo puede tricolorear válidamente sino de tres maneras : ya sea todo rojo, todo verde, o todo azul.

Ahora bien, y aquí está el punto decisivo :

No se cambia en número de tricoloraciones válidas de un diagrama aplicándole una transformación elemental.

Esto implica que todo diagrama de una trenza obtenida a partir de tres lazos separados puede ser tricoloreada de 27 maneras distintas, ya que se las puede obtener a partir del diagrama de la izquierda mediante una sucesión de transformaciones elementales. De igual forma, todo diagrama de las trenzas borromeas [13] puede ser tricoloreado solamente de 3 maneras diferentes. Ya que $27\neq 3$, es imposible la transformación de diagramas considerada.

Nuestro engarzamiento de rectángulos áureos ranurados es imposible, y recíprocamente, no se puede desanudar el icosaedro.

Un pequeño ejercicio para concluir

El diagrama formado con un solo círculo cuenta con 3 tricoloraciones, y el del nudo de trébol cuenta con 9, como se ha visto. Conclusión : no se puede pasar de uno a otro de esos diagramas mediante una serie de movimientos elementales, y entonces no se puede crear el nudo de trébol a partir de un lazo no anudado sin cortarlo.

De la misma manera, le propongo algunos anudamientos-desanudamientos (o enlazamientos-desenlazamientos) previsibles. ¿Sabría usted probar si son posibles o no ?