Septembre 2017, 2e défi

Le 8 septembre 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 36 :

Combien y a-t-il de nombres à dix chiffres tous différents $abcdefghij$ tels que $a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9$ ?

Solution du 1er défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $\frac{5}{18}$.

Pour que l’avant-dernière bille soit le numéro $8$, il faut que la bille numéro $9$ ou la bille numéro $10$ soit parmi celles sorties de la boîte, mais pas les deux sinon la bille $8$ ne serait pas l’avant-dernière. Nous allons calculer la probabilité pour que les billes $8$ et $9$ soient parmi l’ensemble des $5$ billes choisies sans que la bille numéro $10$ ne le soit. Supposons que nous choisissions les billes $8$ et $9$, il reste alors $8$ billes dans la boîte. Il faut maintenant sortir trois autres billes de la boîte et compter combien d’ensembles de trois billes ne contiennent pas celle au numéro $10$. Un calcul de combinaisons nous donne : $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35$ ensembles de trois billes qui ne contiennent pas le numéro $10$, c’est-à-dire $35$ ensembles de cinq billes qui contiennent le numéro $8$ et le numéro $9$ mais pas le numéro $10$. De la même manière, il existe $35$ ensembles de cinq billes qui contiennent le numéro $8$ et le numéro $10$ mais pas le numéro $9$. Ainsi la probabilité que nous cherchons est :

$\frac{2\times35}{\binom{10}{5}}=\frac{70}{\frac{10!}{5!5!}}=\frac{70\times5\times 4\times3\times2}{10\times9\times8\times7\times6}=\frac{5}{18}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Septembre 2017, 2e défi

le 8 septembre 2017 à 08:42, par Al_louarn
On fait varier $a$ de $1$ à $9$ : $9$ possibilités

Pour chaque valeur de $a$ :
- on déduit $j = 9-a$. Et la contrainte $a \neq j$ est toujours vérifiée puisque $9$ est impair.
- on fait varier $b$ de $0$ à $9$ en excluant les valeurs $a$,$j$ : $10-2=8$ possibilités
Pour chaque valeur de $b$ :
- on déduit $i = 9-b$. Et la contrainte $b \neq i$ est toujours vérifiée puisque $9$ est impair.
- on fait varier $c$ de $0$ à $9$ en excluant les valeurs $a$,$j$,$b$,$i$ : $10-4=6$ possibilités
etc.
Le nombre de combinaisons est donc $9 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3456$.

Au passage on notera que le nombre $3456$ a lui aussi les mêmes propriétés puisque $3+6=4+5=9$.
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Septembre 2017, 2e défi

le 8 septembre 2017 à 11:13, par Niak

Les cinq paires distinctes $\{a,j\}$, $\{b,i\}$, etc, doivent être exactement les cinq paires $\{x, 9-x\}$ pour $0\leq x\leq4$. On fabrique un nombre en choisissant l’ordre de ces paires et un premier chiffre par paire, d’où $5!\times 2^5 = 3840$ affectations possibles. Si l’on s’interdit de plus $a=0$ (car alors le nombre produit aurait plutôt neuf chiffres), alors il faut retirer les $4!\times 2^4 = 384$ combinaisons correspondantes. D’où $3840-384 = 3456$ combinaisons.
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