Commentaire sur l'article

• Septembre 2017, 5e défi

  le 29 septembre 2017 à 08:10, par Al_louarn

  Parmi les $1000$ nombres de $0$ à $999$, ceux qui n’ont pas la propriété demandée sont tous ceux dont les chiffres sont entre $0$ et $5$ (inclus). A part $0$, ils sont tous formés d’un chiffre entre $1$ et $5$, suivi de $k$ chiffres entre $0$ et $5$, avec $0 \leq k \leq 2$. Il y en a donc $1 + 5 \times (6^0+6^1+6^2)=216$.
  La probabilté qu’un nombre ait au moins un chiffre dépassant $5$ est donc $1 - \dfrac{216}{1000} = 0,784$

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• Septembre 2017, 5e défi

  le 29 septembre 2017 à 11:35, par Niak

  Oui, on peut ajouter qu’il n’était pas nécessaire de distinguer les cas selon le nombre de chiffres : après votre première phrase, on peut directement dénombrer $6^3 = 216$ tels nombres.

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• Septembre 2017, 5e défi

  le 29 septembre 2017 à 14:07, par Al_louarn

  Effectivement ! Je me disais bien aussi que ce $216$ avait un air de déjà vu...

  Au passage je me demande s’il n’y aurait pas un moyen simple de trouver directement le résultat sans passer par le complémentaire, d’autant que $784 = 28^2$ , mais c’est peut-être juste un hasard ?

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• Septembre 2017, 5e défi

  le 29 septembre 2017 à 17:32, par Niak

  Je dirais que passer par le complémentaire reste la solution la plus simple et naturelle. Je vois deux manières de compter « directement » le résultat, mais elles sont plus compliquées...

  1. Soit $n_k$ le nombre de nombres d’au plus trois chiffres ayant exactement $0\leq k\leq3$ chiffres dépassant $5$. On a $n_k = {3 \choose k}4^k6^{3-k}$ et l’on cherche $\sum_{k=1}^3n_k = 432+288+64 = 784$. Au passage, on reconnaît bien sûr $\sum_{k=0}^3n_k = (4+6)^3$ et $n_0=6^3$ le complémentaire.

  2. Soit $A_k$ l’ensemble des nombres d’au plus trois chiffres dont le $k$-ième chiffre dépasse $5$. On cherche $|A_0 \cup A_1 \cup A_2| = |A_0|+|A_1|+|A_2| - |A_0\cap A_1|-|A_0\cap A_2|-|A_1\cap A_2|+|A_0\cap A_1\cap A_2|$ par inclusion-exclusion. Ce qui donne $3\times4\times10^2 - 3\times4^2\times 10 + 4^3 = 784$.

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• Septembre 2017, 5e défi

  le 30 septembre 2017 à 22:54, par drai.david

  Et plus généralement, si on prend pour énoncé :
  « En choisissant au hasard un nombre de 0 à 10ⁿ - 1, quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ses chiffres dépasse k ? »,
  la réponse est $p=1-\left ( \frac{k+1}{10} \right )^n$

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