Un défi par semaine

Septembre 2018, 4e défi

El 28 septiembre 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 39
Combien d’entiers $m$ entre $10$ et $100$ sont tels que $m^2+m-90$ est divisible par $17$?

Solution du 3e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $a=b=c=d=5$.

Comme $a+b+c+d=20$ on obtient que
\[ \begin{eqnarray*} 400 &= &(a+b+c+d)^2\\ & = &a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & a^2+b^2+c^2+d^2+2 \times 150. \end{eqnarray*}\]

d’où $a^2+b^2+c^2+d^2=100$.

D’autre part, on a
\[ \begin{eqnarray*} & & (a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2\\ & = & 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & 3\times100-2\times150 =0. \end{eqnarray*}\]

Comme $(x-y)^2$ est positif ou nul pour n’importe quels nombres réels $x, y$, on a alors
\[a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,\]
et par conséquent $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Septembre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 de septiembre de 2018 à 09:26, par Al_louarn

    $m^2 + m - 90=m^2 + m - 9^2 - 9 = (m-9)(m+9) + m - 9 = (m-9)(m+10)$
    Pour le facteur $m-9$ on trouve $5$ multiples de $17$ entre $10-9=1$ et $100-9=91=5 \times 17 + 6$ : de $17 \times 1$ à $17 \times 5$
    Pour le facteur $m+10$ on trouve $5$ multiples de $17$ entre $10+10=20=17+3$ et $100+10=110=6 \times 17 + 8$ : de $17 \times 2$ à $17 \times 6$

    Donc $10$ solutions en tout car $m-9$ et $m+10$ ne peuvent être simultanément multiples de $17$.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 de septiembre de 2018 à 10:58, par Pierre Cami

    A l’ancienne : m*m + m - (90+17*a) = 0
    Déterminant 1+4(90+17a) carré pour a = 30, 36, 96, 106, 196, 210, 330, 348, 498, 520.
    Soit m = 24, 26, 41, 43, 58, 60, 75, 77, 92, 94 les 10 solutions

    Répondre à ce message
  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 de septiembre de 2018 à 18:37, par ROUX

    A la physicienne 😉
    J’ai voulu (pourquoi?) virer le «m».
    Donc j’ai écrit que m^2 + m -5 =17*k puis j’ai écrit ensuite m=a+8 et grâce au double produit 2*8*a ajouté au a du m, les 17*a ont disparu dans le k’ de a^2 + 8^2 + 8 - 5 = 17*k’.
    Cela s’écrit aussi a^2 + 67 = 17*k’ ou a^2 + 4*17 - 1 = 17*k’ et, zou, nouvelle disparition mais cette fois-ci dans k’’: a^2 - 1 = 17*k’’.
    Ainsi (a -1)*(a + 1) = 17*k’’.
    Si k’’ = 1 alors a = 18 ou 16 et donc m = 26 ou 24.
    Au maximum, on a k’’ = 5 et a = 84 ou 86 et m = 92 ou 94.
    Donc 10 valeurs pour m compris entre 10 et 100.
    Mais pourquoi pas de 0 à 100 ce qui autorisait m = 9 et 7 (avec k’’ = 0)?

    Répondre à ce message
  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 de septiembre de 2018 à 19:07, par ROUX

    🍏 (Proud Of Me) car j’ai une martingale 😉
    Combien de gnagna pour que m^2 + 3*m -251 soit multiple de 23 😉

    Répondre à ce message
  • Septembre 2018, 4e défi

    le 29 de septiembre de 2018 à 13:33, par Poss Jean-Louis

    À la GAUSS, pour s’amuser…

    Dans le corps $\mathbb{Z}/17 \mathbb{Z}$ factorisons le trinôme :

    $\stackrel{\circ}{m}^2+\stackrel{\circ}{m}-\stackrel{\circ}{90}=\stackrel{\circ}{m}^2+\stackrel{\circ}{18}\, \stackrel{\circ}{m}-\stackrel{\circ}{90}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{9})^2-\stackrel{\circ}{171}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{9})^2-\stackrel{\circ}{1}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{8})(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{10})$.

    Le trinôme s’annule pour $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{(-8)}$ et $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{(-10)}$ ou plutôt, dans $\mathbb{Z}/17 \mathbb{Z}$, $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{9}$ et $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{7}$.

    Entre $10$ et $100$ il y a cinq nombres congrus à $9$ modulo $17$ ($26$, $43$, $60$, $77$ et $94$) et cinq nombres congrus à $7$ modulo $17$ ($24$, $41$, $58$, $75$ et $92$).

    Le nombre de solutions est donc égal à dix.

    Répondre à ce message
    • Septembre 2018, 4e défi

      le 30 de septiembre de 2018 à 09:37, par ROUX

      m^2+3*m-251 congrue à 0 [23]
      m^2-20*m-21 congrue à 0 [23]
      (m-10)^2-100-21 congrue à 0 [23]
      (m+1)*(m-21) congrue à 0 [23]

      Ok ;-)!

      Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.