Septembre 2014, 4ème défi

Le 26 septembre 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 39 :

Soit $S$ un sous-ensemble de $\{1, 2, \dots, 9\}$ tel que toutes les sommes de deux éléments de $S$ soient distinctes.
Quel est le nombre maximal d’éléments qu’il peut y avoir dans $S$ ?

Solution du 3ème défi de Septembre

Enoncé

La réponse est $a=b=c=d=5$.

Comme $a+b+c+d=20$ on obtient que

$400=(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2 \cdot 150,$

d’où $a^2+b^2+c^2+d^2=100$.
D’autre part, on a

$(a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2$

$= 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

$= 3\times100-2\times150 =0.$

Comme $(x-y)^2$ est positif ou nul pour n’importe quels nombres réels $x, y$, on a alors

$a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,$

et par conséquent $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Septembre, 4ème défi

le 26 septembre 2014 à 19:05, par Creux

Si on ne considère que les sommes de deux éléments distincts de S, alors S peut contenir jusqu’à 5 éléments.

Si on autorise également les doubles, alors S ne peut pas contenir plus de 4 éléments.
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