Enunciado

La respuesta es $4$ tríos.

Como $p$, $q$ y $r$ son primos y $p+q^2+r^3$ es par, uno de ellos es igual a $2$. Además $r<6$ y $q<15$, pues $6^3>200$ y $15^2> 200$. Por lo tanto, $r$ es igual a $2$, $3$ o $5$, y $q$ es igual a $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ o $13$.

Analicemos los siguientes tres casos :

• Si $p=2$, entonces $q^2 + r^3 = 198$. Pero en ninguno de los dos casos, $r=3$ o $5$, podemos tener $q^2 + r^3 = 198$.
• Si $q=2$, entonces $p + r^3 = 196$. Supongamos que $r=5$, entonces $p=196-125=71$ que es primo. Tenemos, por lo tanto, una solución : $(71,2,5)$.

Si suponemos ahora que $r=3$, entonces $p=196-127=169$, el cual es divisible por $13$. Por tanto, aquí no hay soluciones.

• Si $r=2$, entonces $p + q^2 = 192$. Analizaremos los casos correspondientes a cada uno de los cinco valores posibles de $q$.

Si $q=3$, entonces $p=183$ es divisible por $3$.

Si $q=5$, entonces $p=167$, el cual es primo y obtenemos la solución $(167,5,2)$.

Si $q=7$, entonces $p=143=11\times 13$.

Si $q=11$, entonces $p=71$, el cual es primo y obtenemos la solución $(71,11,2)$.

Si $q=13$, entonces $p=23$, y tenemos la solución $(23,13,2)$.

Tenemos así $4$ tríos :

$71 + 2^2 + 5^3 = 200,$

$167 + 5^2 + 2^3 = 200,$

$71+11^2+2^3 = 200,$

$23 + 13^2 + 2^3 = 200.$