Enunciado

La respuesta es: $a=b=c=d=5$.

Como $a+b+c+d=20$, tenemos
\[ \begin{eqnarray*} 400 &= &(a+b+c+d)^2\\ & = &a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & a^2+b^2+c^2+d^2+2 \times 150, \end{eqnarray*}\]

de donde $a^2+b^2+c^2+d^2=100$.

Por otra parte, tenemos
\[ \begin{eqnarray*} & & (a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2\\ & = & 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & 3\times100-2\times150 =0. \end{eqnarray*}\]

Como $(x-y)^2$ es positivo o cero cualquiera sean los números reales $x, y$, obtenemos

\[a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,\]

y por lo tanto $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.