Enunciado

La solución es $99$.

Escribamos el número inicial $n$ de dos dígitos como $n = 10t + u$, siendo $t$ y $u$ sus dígitos, y distingamos dos casos :

• Si $u\neq 9$, el número obtenido al sumarle $1$ y voltear sus dígitos es $10(u+1) + t$. Observa que $10(u+1) + t\neq 10t + u$, porque si no, tendríamos que $u = t = u+1$, lo cual no es posible. Entonces, para que $10(u+1) + t$ divida $n$, forzosamente tiene que ser menor o igual a $n/2$, es decir, $2[(u+1)\times 10 + t]\leqslant t\times 10 + u$, de donde se deduce que el dígito de las decenas del número obtenido es $2(u+1)\leqslant t$.
  • Si $u = 0$, tenemos que $t\geqslant 2$ y $n = 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80$ o $90$ ;
  • si $u = 1$, entonces $t\geqslant 4$ y $n = 41, 51, 61, 71$, $81$ o $91$ ;
  • si $u = 2$, entonces $t\geqslant 6$ y $n = 62, 72, 82$ o $92$ ;
  • si $u = 3$, entonces $t\geqslant 8$ y $n = 83$ o $93$ ;
  • si $u\geqslant 4$, entonces $t\geqslant 10$, lo cual es imposible.

Uno a uno verificamos que ninguno de los números arriba listados nos conviene, así que $u$ solo puede ser igual a $9$.

• Si $u = 9$, entonces $n = 10t + 9$, y como además $t < 9$, tenemos que $n+1 = (t+1)\times 10$. En este caso, volteando las cifras de $n + 1$ obtenemos $t + 1$, que no divide $n = 10(t+1) - 1$, luego $t$ tiene que ser $9$ igualmente y así $n = 99$ ; el divisor que buscábamos es $001$, o bien, $1$.