On peut tourner de façon continue,
par exemple une voiture tournant sur un circuit circulaire ; ou tourner
« d’un seul coup ». C’est ce que fait la transformation géométrique
appelée rotation : si on applique la rotation de centre O d’angle
A à la figure plane en bleu (ci-dessous), on obtient la figure en rouge.

Rotation d’une figure

L’image de la figure bleue par la rotation d’angle A est la figure rouge.

Construction de l’image d’une figure par une rotation

Illustration de la construction de l’image par la rotation de 3 des points de la figure : le point noir de la figure initiale (bleue) est envoyé sur le point rouge qui est sur le même cercle (cercle noir) en tournant d’un angle A. Idem pour les points vert et rose.

Nous allons nous intéresser à ce type de rotation, appliquée à un seul
point (et non à une figure), mais appliquée plusieurs fois de suite.
C’est un exemple particulièrement simple de système dynamique en temps discret (qui consiste à itérer un grand nombre de fois une transformation, la transformation donnant le déplacement des points en un pas de temps).
À chaque itération de la rotation, le point considéré se déplace : il tourne
en rond « par à coups ». Ce type de déplacement peut décrire par exemple la combinaison de deux mouvements périodiques, comme le mouvement de la Terre tournant autour du soleil tout en tournant sur elle-même (dans un modèle simplifié où la Terre décrit un cercle parfait autour du soleil) : si un observateur détermine la position de la Terre autour du soleil chaque jour quand il voit le soleil au plus haut, il obtient une suite de positions de la Terre données par itérations d’une certaine rotation autour du soleil.

Si on itère de nombreuses fois la rotation et qu’on dessine toutes les positions successives du point, qu’observe-t-on ? Voici trois exemples de ce qu’on obtient au bout de 100 itérations. Si on continue, remplit-on tout le cercle ? Tous les angles donnent-ils des dessins similaires ?
Nous verrons que deux comportements très différents apparaissent, selon la nature de l’angle de la rotation.

Les 100 premiers points obtenus par itérations d’une rotation pour trois angles différents (exprimés en tours) : 0,02, $\pi$ (pi) $\simeq$ 3,14159 et e $\simeq$ 2,71828.

Nous commençons par présenter l’itération d’une rotation, que nous illustrons par un autre phénomène décrit de cette manière : les roues au cinéma, qui semblent parfois tourner à l’envers. Puis nous étudierons la suite de points obtenus en itérant de nombreuses fois une rotation, d’abord quand l’angle est une fraction de tours, puis dans le cas inverse.

Itérer une rotation

Une rotation est définie par son centre (le point autour duquel on tourne)
et un angle (qui indique de combien on tourne).
On mesure souvent les angles en degrés. 1 tour complet = 360 degrés.
Dans ce texte, notre unité sera le tour, noté T. Ainsi, un quart de tour
est noté 1/4 T.
Il faut également décider dans quel sens on tourne : dans le sens des aiguilles
d’une montre ou dans le sens inverse (appelé sens trigonométrique).
Nous prenons la convention de tourner dans le sens trigonométrique quand
l’angle est positif, et dans le sens des aiguilles d’une montre si
l’angle est négatif.
La rotation de centre O d’angle A est définie ainsi : un point x
est transformé en un autre point x’ qui est situé sur le cercle de centre O
passant par x, et tel que l’angle pour aller de x à x’ est égal à A (figures
ci-dessous).

Ci-dessus : différentes rotations de centre O, envoyant le point bleu x sur le point rouge x’,
l’angle étant indiqué par la flèche. Les angles des rotations sont, dans l’ordre : A₁ = 1/6 T, A₂ = 1/3 T, A₃ = 3/4 T,
A₄ = -2/3 T (on tourne dans le sens négatif, c’est-à-dire le sens
des aiguilles d’une montre), A₅ = 4/3 T (on tourne de plus
d’un tour).
Remarque : on peut obtenir le même point x’ avec des angles différents. C’est
le cas pour les rotations d’angles A₂, A₄ et A₅ ; ceci est dû au fait que A₅ = A₂ + 1 T = A₄ + 2 T (quand les angles
diffèrent d’un ou plusieurs tours entiers, le point obtenu est le même).

Fixons une fois pour toute le centre des rotations : nous tournerons
toujours autour de O. Fixons également un cercle de centre O.
Nous considérerons uniquement des points sur ce cercle : si on applique une
rotation de centre O à un point du cercle, on obtient un point qui est aussi
sur le cercle, quel que soit l’angle de la rotation.

Choisissons un point de départ x₀ sur le cercle
et appliquons plusieurs fois de suite la rotation R d’angle A :
en appliquant R à x₀, on obtient le point
x₁ ; puis on applique
R à x₁ et on obtient x₂ ; puis on obtient
x₃, x₄, x₅, ... x₁₀₀, ...
Cela nous donne une suite infinie de points du cercle.

On peut voir que le choix du point de départ x₀ n’a pas
beaucoup d’importance : si on part d’un autre point y₀ et qu’on
applique plusieurs fois la rotation R, les points se disposent dans le même
ordre. La figure partant du point y₀ est obtenue en tournant la figure pour x₀ (autrement dit, on applique une rotation - une autre ! - à la figure ; le centre de cette rotation est O et l’angle est celui permettant d’envoyer x₀ sur y₀, noté B sur la figure). On peut donc se contenter d’étudier l’itération d’une rotation en partant d’un point de départ fixé.

Si on part d’une rotation d’angle A quelconque et qu’on l’applique deux fois
de suite, on se convainc
facilement en regardant le dessin que cela revient à faire une
rotation d’angle 2A. De même, si on l’applique trois fois de suite, on
obtient une rotation d’angle
3A ; si on l’applique 100 fois, on a une rotation d’angle 100A ; et
si on l’applique n fois (où n est un entier), on a
une rotation d’angle nA. Si R est une rotation d’angle A, x₀
le point de départ et x₁, x₂, x₃, ...
x_n...
les points obtenus successivement en appliquant R,
le point x_n est obtenu
en appliquant une rotation d’angle nA au point x₀.

Quand n grandit,
l’angle nA devient de plus en plus grand, il tend
vers l’infini quand n tend vers l’infini. On s’enroule donc de plus en plus
autour du cercle. Mais le nombre de tours ne compte pas, on veut
seulement savoir où se trouve le point sur le cercle.

Pourquoi les roues tournent parfois à l’envers au cinéma

La roue d’un véhicule
tourne de façon continue. Mais si on la filme, cela revient à
prendre un grand nombre de photos (le standard du cinéma est 24 images par
seconde). Si la roue tourne à une certaine vitesse angulaire v (exprimée en
tours par seconde) et que le temps séparant deux photos consécutives est t
(exprimé en seconde), alors la roue tourne d’un angle A = vt (exprimé en tours) entre deux photos consécutives. Passer d’une photo à la suivante revient donc à
appliquer une rotation d’angle A à l’image de la roue.

Représentons la roue
par un cercle et marquons un point pour voir la roue tourner. Si l’angle A est
légèrement inférieur à un tour, que voit-on ? Le point semble tourner à
l’envers ! Pourquoi ?

À gauche : une rotation d’angle A légèrement inférieur à un tour. À
droite, les premiers points obtenus en itérant cette rotation.

Le point fait presque un tour complet pendant le temps t. Le cerveau,
voyant ce point proche du point de départ, interprète ceci comme un
déplacement selon le plus court chemin, autrement dit il imagine que le
déplacement est la petite flèche rouge sur le dessin ci-dessous. On voit alors une rotation qui est en sens inverse du mouvement réel.

Si la roue a des rayons semblables, le cerveau identifie les
différents rayons, de sorte que les angles qui sont légèrement
inférieurs à l’angle entre deux rayons donnent la même impression.
Par exemple, si on tourne la figure ci-dessous à gauche selon la flèche verte,
on obtient la figure la plus à droite, et le cerveau interprète
l’image comme une rotation selon la flèche rouge. On obtient la même figure
finale si on tourne selon la flèche bleue (2ème figure) ou la flèche rose
(3ème figure). Plus il y a de rayons, plus il y a d’angles donnant l’impression
de tourner à l’envers. Du coup, c’est un phénomène relativement fréquent
dans les films, à condition qu’y figurent des roues à rayons (telles que les roues de diligence).

Rotation d’angle rationnel

Nous allons voir que les points obtenus en itérant une rotation
se répartissent différemment selon que l’angle de la rotation est rationnel ou
irrationnel (rappelons que notre unité d’angle est le tour ; la condition
s’exprime de façon identique si l’angle est exprimé en degrés, mais légèrement différente si l’angle est exprimé en radians). Nous commençons par considérer
le cas des rotations d’angle rationnel.
Nous verrons le cas irrationnel dans la partie suivante.

Considérons par exemple la rotation R d’angle A = 1/4 T.
Appliquons-la plusieurs fois de suite en partant d’un point
x₀ :
en appliquant R à x₀, on obtient le point
x₁ ; puis on applique
R à x₁ et on obtient x₂ ; puis on obtient
x₃, x₄, x₅, ... x₁₀₀, ...

Les trois premières itérations de la rotation d’angle A = 1/4 T.

Les 12 premières itérations de la rotation d’angle A = 1/4 T.

On voit qu’on revient au point de départ au bout de quatre fois, c’est-à-dire
x₄ = x₀. Ceci est dû au fait que 4A = 1 T.
Ensuite on repasse,
dans le même ordre, sur les points déjà visités :
x₅ = x₁, x₆ = x₂,
x₇ = x₃, x₈ = x₄ =
x₀ (retour au point de départ après deux tours complets),
x₉ = x₁, etc.

Regardons maintenant les rotations
d’angle 1/12 T et 5/12 T. Dans ces deux cas, on revient au point de départ au
bout de 12 coups. Par contre, les 12 points sur le cercle sont visités dans un
ordre différent.

Rotation d’angle A = 1/12 T ; à gauche : les 12 premières itérations et le premier retour au point de départ, à droite : les 36 premières itérations
(le point rouge est le dernier itéré desssiné).

Rotation d’angle A = 5/12 T ; à gauche : les 12 premières itérations et le premier retour au point de départ, à droite : les 36 premières itérations
(le point rouge est le dernier itéré desssiné).

De façon générale, si A = p/q T avec p, q des entiers (c’est-à-dire que
l’angle est égal à une fraction de tour), alors on revient toujours
au point de départ après un certain nombre d’itérations, car
qA = p T (au bout de q itérations, on a fait p tours complets). Si la
fraction p/q est irréductible, les q premiers points sont différents, le
point x_q est le premier point égal au point de départ x₀,
puis on parcourt de nouveau les q premiers points, dans le même ordre.
Le nombre de points sur le cercle est égal à q,
l’ordre dans lequel on les parcourt dépend de l’entier p.

Rotation d’angle irrationnel

Que se passe-t-il
si l’angle A est irrationnel ? La figure ci-dessous représente
les points obtenus en itérant la rotation d’angle
A = $\sqrt{2}$/2$\simeq$ 0,7071678 T. Au début de l’article étaient donnés
deux autres exemples de rotation d’angle irrationnel, $\pi$ et e (e est un autre irrationnel célèbre).

Les 30 premières itérations de la rotation d’angle
A = $\sqrt{2}$/2 T. Le point vert est le point de départ, le point rouge est le dernier itéré desssiné.

On voit les points se multiplier sur le cercle sans repasser au même
endroit. Si on continue à itérer la rotation, on finit par noircir tout
le cercle et on ne
distingue plus les nouveaux points. Mais cela est dû au fait que les points
dessinés ont une épaisseur ; si on augmente la résolution, on voit
davantage de points distincts.
Avec des points idéaux, sans épaisseur,

Passe-t-on par tous les points du cercle ? Non, même si
on itère la rotation un nombre infini de fois. C’est impossible car il y a plus
de points dans le cercle que dans la suite de points. Ceci n’est pas
évident : il y a une infinité de points dans le cercle, et la suite
construite est également infinie. Georg Cantor a montré qu’il existe des infinis plus gros que d’autres. En
particulier, il a montré qu’il est impossible d’attribuer un numéro entier
différent à chaque point du cercle (ou à chaque point d’un segment). Or
notre suite de points est numérotée par les entiers. Par conséquent, l’ensemble
de points x₀, x₁, ... x₁₀₀... ne peut
pas visiter tous les points du cercle.

Par contre,
on passe aussi près qu’on veut de n’importe quel point du cercle si on itère
la rotation suffisamment de fois. On dit que

la suite de points obtenus en itérant la rotation est dense dans le cercle.

Fixons une distance d (aussi petite qu’on veut) et prenons un grand entier
N tel que deux points séparés d’un angle 1/N T soient à distance plus petite
que d.
Regardons les N points x₁, x₂, ...
x_N et considérons les angles qui séparent ces points
quand on parcourt le cercle dans le sens trigonométrique.
Les points x₁, ...
x_N étant tous différents, ces angles sont non nuls.
Nous avons N angles dont la somme vaut un tour complet.
Il est impossible que
les N angles soient tous plus grands que 1/N T (sinon leur somme serait
supérieure à 1 T), donc au moins un de ces angles est plus petit que 1/N T ;
notons-le b.

Exemple de 4 angles définis par 4 points (N = 4) : au moins un angle
est plus petit que 1/4 T. L’angle b en rouge vérifie cette condition (ce n’est
pas le seul).

Cet angle b est réalisé entre deux points que nous notons
x_n et x_m. Si
m > n, notons k = m-n (c’est un entier positif).
Ainsi le point x_m = x_n+k
est obtenu en appliquant
k fois la rotation R au point x_n. Si on applique
k fois la rotation R au point x_n+k, on obtient le
point x_n+2k, qui est écarté d’un angle b de x_n+k.
De même, le point x_n+3k est écarté d’un angle b de
x_n+2k. En continuant de la sorte, on construit une suite de points
dont chacun est distant d’un angle b du précédent. L’angle b est petit
mais non nul, donc on va finir par faire plus d’un
tour si on construit assez de points (il faut construire au moins n points
avec n un entier vérifiant nb > 1).

Tous les points construits font
partie des points obtenus en appliquant la rotation R au point de départ
x₀, et les angles sont à chaque fois égaux à b, avec b plus petit
que 1/N. N’importe quel point x du cercle est situé entre deux de ces points,
donc la distance de x à ces deux points est plus petite que d.
Ceci montre le résultat que nous voulions quand m > n.

Le cas m < n est
similaire, mais en tournant en sens inverse : on note k = n-m (c’est un entier
positif), on part
du point x_m, on lui applique k fois la rotation R pour
obtenir le point x_n = x_m+k, qui est séparé du précédent
d’un angle -b (autrement dit, on tourne dans le sens des aiguilles d’une
montre), puis on considère les points x_m+2k, x_m+3k, ...,
chacun distant d’un angle -b du précédent.

Rationnels et irrationnels sont-ils si différents ?

Il existe des nombres rationnels aussi près qu’on veut d’un nombre irrationnel donné. Il peut paraître curieux que les rotations d’angle rationnel et irrationnel aient des comportements si différents. D’un point de vue expérimental, il est en fait difficile de faire la différence entre une rotation d’angle irrationnel et une rotation d’angle rationnel. Si l’angle vaut A = p/q, exprimé sous la forme d’une fraction irréductible, il y a q points distincts sur le cercle. Si q est très grand et que la précision (de dessin ou de calcul) n’est pas assez bonne, on a l’impression d’obtenir tous les points du cercle et on ne fait pas la différence avec une rotation d’angle irrationnel.

Les fractions continues permettent d’obtenir des rationnels qui sont les « meilleures approximations » rationnelles (en un certain sens bien précis) d’un irrationnel donné.

Par exemple, il est connu que 22/7 est une « bonne approximation » de $\pi$ (pi). Cela peut se voir sur l’itération de la rotation d’angle $\pi$ (exprimé en tours) : parmi les premiers points dessinés, x₇ est le plus proche de x₀. Cela implique que x₈ est proche de x₁ (la distance entre x₈ et x₁ est la même qu’entre x₇ et x₀), x₉ est proche de x₂, etc. Si on n’itère pas trop, on voit apparaître 7 « paquets de points » qui rappellent la rotation d’angle 22/7 (qui est la même que la rotation d’angle 1/7), comme le montre la figure ci-dessous.

À gauche : les 7 premiers itérés de la rotation d’angle $\pi$ (en tours). À droite, les 20 premiers itérés de la même rotation, qui forment 7 « paquets ». Le point x₇, en rouge, est le plus proche de x₀ parmi les 20 premiers points, ce qui traduit le fait qu’une des « bonnes approximations » rationnelles de $\pi$ a un dénominateur égal à 7.

Si on itère davantage, l’approximation de $\pi$ par 22/7 n’est plus assez précise et il faut prendre une meilleure approximation rationnelle (on peut toujours faire mieux à condition d’augmenter suffisamment le dénominateur de la fraction). Par exemple, 354/113 est une « bonne approximation » de $\pi$ (donnée par la quatrième étape de l’algorithme des fractions continues), ce qui se traduit par le fait que x₁₁₃ est très proche de x₀ et qu’on verrait apparaître 113 « paquets de points » si on itérait suffisamment.

Un autre exemple : 193/71 est une « bonne approximation » de e$\simeq$2,71828. Au début de l’article figurent les 100 premiers points pour la rotation d’angle e, on peut voir qu’ils commencent à former 71 « paquets ».

On voit ainsi que des rotations d’angles irrationnels différents ne se ressemblent pas tout à fait, bien qu’on ait l’impression de « tout remplir » avec beaucoup d’itérations : avec un nombre réduit d’itérations, on observe des « paquets » réguliers de points, qui rappellent la répartition rationnelle.

Quand l’angle varie

Revenons sur l’exemple du mouvement de la Terre évoqué au début. La Terre ne décrit pas un cercle autour du soleil, mais une ellipse, et sa vitesse varie selon sa position sur cette ellipse (elle va plus vite quand elle est plus près du soleil). Si on repère la position de la Terre autour du soleil par un angle x, la variation d’angle à 24 heures d’intervalle est un angle A_x qui dépend de x. La nouvelle position est donc obtenue en appliquant une rotation dont l’angle dépend de la position précédente.
Si on définit la fonction f(x)=x+A_x et qu’on part de la position repérée par l’angle x₀, la suite de positions observées à intervalles de 24 heures est x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁),
x₃ = f(x₂), ... x_n+1 = f(x_n)...

De façon plus générale, on peut considérer un système dynamique sur le cercle donné par itération d’une fonction f. La suite de points x₀,
x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁),
x₃ = f(x₂), ... est appelée l’orbite de x₀.
Pour certaines fonctions (celles qui sont de degré 1), on peut définir le nombre de rotation r de chaque point x₀ du cercle, qui est l’angle de rotation « moyen ».
Le nombre de rotation a été introduit par Henri Poincaré pour certaines fonctions (celles qui sont des homéomorphismes du cercle préservant l’orientation), dans ce cadre le nombre de rotation est le même pour tous les points du cercle.
Dans cette situation, si le nombre de rotation du système est rationnel, il existe au moins une orbite périodique, c’est-à-dire un point dont l’orbite revient au point de départ au bout d’un certain temps (mais toutes les orbites du système ne sont pas forcément périodiques, contrairement au cas d’une rotation d’angle rationnel). Si au contraire le nombre de rotation r est irrationnel, il n’y a pas d’orbite périodique, et toutes les orbites sont ordonnées comme les orbites de la rotation d’angle r (autrement dit, si on dessine les n premiers points puis qu’on parcourt le cercle dans le sens trigonométrique en partant de x₀ et qu’on note les numéros des points dans l’ordre où on les rencontre, on obtient la même suite de numéros pour le système de nombre de rotation r et pour la rotation d’angle r).

Pour des fonctions plus générales (fonctions continues de degré 1), les orbites ne tournent pas nécessairement toutes à la même vitesse, ce qui donne, non un unique nombre de rotation, mais un ensemble de nombres de rotation. Cet ensemble est un intervalle de la forme [a,b] et il donne des informations sur le comportement du système dynamique, notamment sur les points périodiques. Un point périodique a nécessairement un nombre de rotation rationnel, et réciproquement tout nombre de rotation rationnel correspond à au moins un point périodique. On retrouve là un résultat caractéristique des rotations que nous venons de voir.

Conclusion

En appliquant de façon répétée une rotation d’angle A en partant d’un point
de départ x₀, on obtient une suite infinie de points sur
le cercle : x₀, x₁, x₂, ... x₁₀₀,
...
On a deux comportements très différents selon que l’angle A (exprimé en tours)
est rationnel ou irrationnel :

• Si l’angle A est rationnel, il apparaît un nombre fini de points sur le cercle ; les points de la suite sont tous égaux à l’un de ces points et ils se répètent dans un ordre fixé.
• Si l’angle A est irrationnel, les points de la suite sont tous différents et ils sont denses dans le cercle, c’est-à-dire qu’on trouve des points arbitrairement proches de n’importe quel point du cercle. Expérimentalement, on a l’impression de remplir tout le cercle car on ne peut pas distinguer des points trop proches à cause de la précision du calcul ou de la mesure.

La rotation est un exemple très simple de système dynamique sur le cercle. On s’en sert comme modèle pour expliquer d’autres systèmes dynamiques, en particulier les nombres de rotation permettent de décrire certains systèmes dynamiques sur le cercle. On peut définir des nombres de rotation pour des systèmes dynamiques sur d’autres espaces que le cercle, par exemple le cylindre ou des graphes en forme de soleil. À quel point l’orbite d’un point de nombre de rotation r ressemble-t-elle à celle donnée par la rotation d’angle r ? Plus on a de liberté pour bouger dans l’espace, moins la ressemblance paraît évidente, mais des liens entre l’ensemble des nombres de rotation et la dynamique persistent. Ceci fait l’objet de recherche actuelle.

Un cylindre à gauche et un graphe en forme de soleil à droite ; deux espaces sur lesquels on peut « touner ».