J’ai assisté, il y a deux semaines, au premier colloquium de l’année : il s’agissait d’une conférence de Gilles Lebeau sur l’algorithme de Metropolis, sujet qui m’est étranger.

Pour introduire son exposé, il a commencé par nous décrire le problème
originel :
étant donnés un rayon $r>0$ et un entier naturel $N$, comment choisir
« au hasard » $N$ disques disjoints de rayon $r$ dans le carré de côté 1 ?

Il n’est pas très difficile de définir l’espace de toutes les configurations
possibles : on peut représenter les disques par leurs centres, et ceux-ci par
leurs deux coordonnées, abscisses et ordonnées, soit au total $2N$ réels.
On souhaite donc que ces centres soient à distance au moins $r$ des bords du carré,
et qu’ils soient à distance au moins $2r$ les uns des autres.
Tout ceci s’écrit très bien en terme d’inégalités strictes.
Évidemment, pour qu’il existe au moins une configuration, il faut se donner
des restrictions : par exemple, il est nécessaire que l’aire totale des disques,
$N\pi r^2$, soit inférieure à l’aire du carré, $1$ (ce n’est certainement
pas suffisant !).

En fait, Gilles Lebeau nous a expliqué que « nous » ne
connaissions pas grand-chose sur l’espace des configurations. Par exemple, il arrive
que pour certaines valeurs de $N$ et de $r$, cet ensemble ne soit pas connexe :
étant données deux configurations, on ne peut pas toujours
déformer la première pour arriver à la seconde sans
que les disques ne se rencontrent (prendre par exemple deux disques
de grand rayon). Plus subtil, l’adhérence de cet espace peut être différente
de l’espace des configurations pour lesquelles on accepte que des disques se touchent
(inégalités larges au lieu de strictes).

Je suis toujours étonné de constater que
les questions qui pourraient constituer les fondements d’un sujet
ne sont pas forcément
résolues voire même abordées, que ce soit dans un domaine que je suis censé connaître ou non.
Et pourtant, cela n’empêche pas d’élaborer
des théories sophistiquées ! Malgré cette frustration,
n’est-ce pas une force des mathématiques ?