Ensembles modèle

Voici la recette pour construire un ensemble modèle en dimension 1 :

• Prenez une famille de droites du plan, parallèles entres elles et régulièrement espacées. Prenez ensuite une autre famille de droites, elles aussi parallèles entres elles et régulièrement espacées, mais pas parallèles aux premières. Les points d’intersection entre ces droites forment ce qu’on appelle un réseau du plan (en vert sur l’image).
  
• Choisissez une bande horizontale et sélectionnez tous les points du réseau appartenant à cette bande (les gros points verts de l’image), puis projetez-les verticalement sur l’axe des abscisses (les points rouges de l’image).
  

Cette construction s’appelle couper-projeter, et le sous-ensemble de l’axe des abscisses constitué des points rouges est appelé ensemble modèle [1]. Elle se généralise pour obtenir des sous-ensembles du plan [2], d’ailleurs ce sont des sous-ensembles du plan qu’on représentera à partir de maintenant : c’est bien plus pratique pour visualiser les caractéristiques de ces ensembles (et ça fait de plus jolis dessins !).

Le nom d’ensemble modèle est dû à Yves Meyer, qui les a introduits au début des années 70 dans le but d’étudier les nombres de Pisot et de Salem [Mey72]. Par exemple, tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est un nombre de Pisot, de même que le nombre d’or $\varphi = (1+\sqrt 5)/2$ ou bien $1+\sqrt 2$. Ce travail d’Yves Meyer dévoile les liens entre trois domaines a priori sans grand rapport :

• L’approximation diophantienne des nombres de Pisot et de Salem (nombres dont la définition classique est de nature algébrique). L’approximation diophantienne est expliquée dans un bloc déroulant ci-dessous.
• L’étude de certains ensembles presque-périodiques, qu’il nomme alors harmonieux et qui sont désormais connus sous le nom d’ensembles de Meyer. Leur définition est purement géométrique : un sous-ensemble discret $M$ du plan est dit de Meyer s’il n’existe pas de vecteurs arbitrairement proches dont les extrémités sont des points de $M$ [3] (on demande aussi qu’il n’existe pas de disque arbitrairement grand ne contenant aucun point de $M$).
• L’analyse harmonique, c’est-à-dire la décomposition d’un signal — par exemple un son — en superposition d’ondes [4].

C’est la notion d’ensemble modèle qui permet à Yves Meyer de mettre au jour les liens entre ces domaines.

Le lecteur trouvera dans le bloc suivant un exemple concret illustrant comment visualiser des problèmes d’approximation diophantienne par des ensembles modèle. Il pourra dans un premier temps se contenter de jouer avec l’animation : l’ensemble modèle est en rouge !

Un exemple d’ensemble modèle par l’approximation diophantienne

Depuis la Grèce antique et Pythagore, on sait que le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme $\sqrt{2} = p/q$, avec $p$ et $q$ deux nombres entiers [5]. Soit, mais on peut quand même chercher à approcher $\sqrt{2}$ par des nombres rationnels. C’est la question à la base de l’approximation diophantienne, domaine des mathématiques maintenant très développé (il a par exemple valu la médaille Fields à Klaus Roth en 1958), voir par exemple le livre [HaW38].

Klaus Roth

Rentrons un peu plus dans les détails. On cherche toutes les fractions $p/q$ qui approchent bien le nombre $\sqrt{2}$. Par exemple, $\sqrt{2} = 1,4142135623\dots$ est bien approché par $577/408 = 1,4142156862\dots$ Plus généralement, on peut se poser la même question pour n’importe quel nombre irrationnel $\alpha$ à la place de $\sqrt 2$, mais contentons-nous de ce cas particulier pour l’instant.

Fixons maintenant un nombre $\varepsilon>0$ « petit », et cherchons toutes les fractions $p/q$ qui approchent « très bien » $\sqrt 2$, dans le sens que
\[\left|\sqrt{2} -\frac{p}{q}\right| \le \frac{\varepsilon}{q},\]
où $|x|$ désigne la valeur absolue de $x$, autrement dit sa distance à $0$ (si bien que $|\sqrt 2 -p/q|$ est la distance entre $\sqrt{2}$ et $p/q$). Pour simplifier les choses, intéressons-nous simplement aux dénominateurs $q$. En multipliant l’équation précédente par $q$, on obtient
\[\big|q\sqrt{2} -p\big| \le \varepsilon.\]
Par exemple, dans le cas de l’approximation $\sqrt 2 \simeq 577/408$, on obtient
\[\big|408\sqrt{2} -577\big| \simeq 8,6655\ldots \times 10^{-4} < 10^{-3}.\]
Remarquons que l’approximation « naïve » $\sqrt 2 \simeq 1414/1000$ est bien moins bonne, puisque
\[\big|1000\sqrt{2} -1414\big| \simeq 0,2136.\]

Il y a une manière très géométrique de visualiser les dénominateurs $q$ qui satisfont cette inégalité pour un certain numérateur $p$. Considérons les deux vecteurs du plan $\vec u=(0,-1)$ et $\vec v=(1,\sqrt{2})$, en bleu dans l’animation suivante (où $\sqrt{2}$ est remplacé par un nombre $\alpha$ quelconque), et regardons le réseau engendré par ces deux vecteurs (les points verts de l’animation). Ce réseau s’obtient en prenant tous les points de la forme $p\vec u + q\vec v$, avec $p$ et $q$ des entiers relatifs [6]. En coordonnées, cela donne
\[p\vec u + q\vec v = (q\, , \ q\sqrt{2}-p).\]

Regardons la seconde coordonnée $q\sqrt{2}-p$. Rappelons qu’on cherche les points pour lesquels $|q\sqrt{2} -p| \le \varepsilon$, donc ceux où cette seconde coordonnée est plus petite que $\varepsilon$ en valeur absolue. Cela correspond aux points situés dans la bande horizontale située entre les droites d’équations $y=-\varepsilon$ et $y=\varepsilon$. On récupère alors le dénominateur $q$ en regardant la première coordonnée, c’est-à-dire en projetant les points verts qui sont dans la bande sur l’axe des abscisses (les points rouges de l’animation).

Rappelons que dans l’animation, le nombre $\sqrt 2$ est remplacé par un nombre $\alpha$ quelconque.

L’histoire est loin de s’arrêter là. En 1981, les ensembles modèle sont redécouverts par Nicolaas Govert de Bruijn lorsqu’il étudie les pavages de Penrose, imaginés 7 ans plus tôt par le physicien Roger Penrose. Ce sont des pavages du plan à l’aide d’un ensemble fini de tuiles, mais qui ne possèdent aucune périodicité ; néanmoins les sommets de ces tuiles ont une structure assez rigide puisqu’ils forment un ensemble modèle. Cela donne des images magnifiques, on peut même en faire de très beaux parquets. À ce propos ne manquez pas ce magnifique article d’Images des maths qui explique comment un réaliser un soi-même !

Pavage de Penrose de type 3, construit à partir de deux tuiles, toutes deux en forme de losange, une bleue et une blanche. Les sommets des tuiles forment un ensemble modèle.

La popularisation de ces ensembles par leur aspect esthétique a largement contribué à la diffusion des résultats de [SBGC84], où pour la première fois on observait des solides présentant une structure ordonnée mais non périodique [8]. Ils sont désormais appelés quasi-cristaux et ont valu à Dan Shechtman le prix Nobel de chimie 2011.

Diagramme de diffraction d’un quasi-cristal, présentant une symétrie d’ordre 5, impossible pour un cristal régulier.

Cette découverte relance l’étude théorique des ensembles modèle — et des ensembles quasi-périodiques en général —, qui connaît un grand boum à partir de la fin des années 90, notamment sous l’impulsion d’Yves Meyer, Michael Baake, Jeffrey Lagarias, Robert Moody... Le lecteur curieux pourra se faire une idée de la richesse des applications en consultant le survol [Moo00] de Robert Moody.

Une rencontre

J’ai rencontré Yves Meyer à la fin de l’année 2013. À l’époque, mon sujet de thèse m’avait amené à étudier les discrétisations d’applications linéaires. Tout ce que je veux en dire ici se résume à la jolie image suivante [9] :

Image du réseau $\mathbf Z^2$ par la discrétisation de la rotation d’angle $\pi/6$

J’obtenais donc des sous-ensembles du réseau $\mathbf Z^2$ (l’ensemble des points du plan à coordonnées entières) qui semblaient présenter une forme de presque-périodicité, mais je ne connaissais pas grand-chose au sujet : j’avais du mal à déterminer quelles étaient les propriétés intéressantes de ces ensembles. Quelques années plus tôt, j’avais assisté à un exposé d’Yves sur les quasi-cristaux ; je savais donc qu’il avait beaucoup travaillé sur ce sujet et lui ai envoyé un mail pour lui demander son avis sur les figures que j’obtenais. Il les a accueillies avec émerveillement et enthousiasme. C’est d’ailleurs cet enthousiasme qui m’a le plus frappé : il est resté chez lui intact. Le lendemain de notre premier rendez-vous, il m’envoyait 3 pages de maths rédigées pendant la nuit, à propos d’une définition de presque-périodicité que je lui avais soumise. Nous nous sommes revus quelques fois, et je peux dire que ces rencontres ont contribué pour beaucoup au déblocage du problème le plus difficile de ma thèse : sa résolution repose de manière cruciale sur les ensembles modèle, auxquels Yves m’a initié.

Au-delà des mathématiques, les discussions avec Yves sont toujours peuplées de souvenirs de lieux, de gens : les mathématiques, parfois perçues comme froides et mécaniques, deviennent avec lui une activité chaleureuse et humaine. J’aimerais terminer cet article par une anecdote qu’il aime beaucoup raconter. En 2007, Peter Lu, un physicien américain de l’université d’Harvard alors en voyage en Ouzbékistan, réalise que des mosaïques d’une médersa datant du 15e siècle ont une structure de pavage de Penrose [10]. Les artistes islamiques ont donc produit ces pavages six cents ans avant qu’ils ne soient redécouverts par les scientifiques occidentaux !

[Mey72] Y. Meyer, Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, Elsevier, 1972.

[Mey95] Y. Meyer, Quasicrystals, Diophantine approximation and algebraic numbers, Beyond quasicrystals, 1995.

[Bru81] N. G. de Bruijn, Algebraic theory of Penrose’s nonperiodic tilings of the plane, Indagationes Mathematicae 1 (1981), p. 39—66.

[SBGC84] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias et J. W. Cahn, Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry, Physical Review Letters 53 (1984), p. 1951–1953.

[LeO15] N. Lev et A. Olevskii, Quasicrystals and Poisson’s summation formula, Inventiones mathematicae, 200 (2015), p. 585–606. Lien vers l’article.

[Moo00] R. Moody, Model Sets : A Survey, Quasicrystals to More Complex Systems, Centre de Physique des Houches (2000), vol 13, p. 145-166. Lien vers l’article.

[MaS16] J. Marklof et A. Strömbergsson, The three gap theorem and the space of lattices, à paraître dans l’American Mathematical Monthly. Lien vers l’article.

[JLO17] T. Jäger, D. Lenz et C. Oertel, Model sets with positive entropy in Euclidean cut and project schemes. Lien vers l’article.

[HaW38] G.H. Hardy et E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers (1938).