10 mai 2012

10 messages - Retourner à l'article
  • Et le vainqueur du second tour est...

    le 11 mai 2012 à 00:55, par Vincent Beck

    Merci pour ces belles réflexions sur les systèmes de vote.

    Dans les commentaires de l’article précédent, il y avait une référence au site « vote au pluriel ». Une autre association « vote de valeur » a aussi effectué des expériences lors de cette élection.

    Une première analyse de leurs résultats est sortie aujourd’hui. On pourra y voir une forme de confirmation que Bayrou était bien un vainqueur de Condorcet pour cette élection.

    http://doc.votedevaleur.org/exp2012/compteRenduPreliminaire/web/co/resultats.html

    Répondre à ce message
  • Et le vainqueur du second tour est...

    le 12 mai 2012 à 11:38, par Jérôme Germoni

    Dans le même sens, Vote au pluriel a publié ses résultats : dans cette simulation, François Bayrou aurait gagné n’importe quel duel de second tour mais n’aurait pas atteint le second tour.

    (Quant au site Vote de valeur, il m’a semblé fort militant.)

    Répondre à ce message
  • Et le vainqueur du second tour est... A propos de transitivité

    le 12 mai 2012 à 12:06, par julesdesp

    Merci pour ce saisissant et fascinant exposé, dans sa globalité, d’une question taraudante : quels que soient les progrès acquis dans la liberté d’un choix, tout système d’élection reste dépendant d’un système de sélection. Le Saint-Esprit avait déclaré forfait pour ce qui est de choisir le successeur de Judas ... qui a été tiré au sort ! Hérodote préconisait de s’en remettre au hennissement des chevaux pour reconnaître l’empereur des Perses ... devant monter le cheval qui hennirait en premier à l’aube. Il a fallu attendre, jusqu’au milieu du XIVe siècle, la promulgation de la Bulle d’Or par Charles IV du Luxembourg pour régler les conditions de l’élection des empereurs germaniques.

    J’ai particulièrement bien-aimé la remarque portant sur l’intérêt qu’il peut y avoir à engranger des résultats mathématiques « négatifs » qui abondent, sans toutefois jouer le même rôle qu’une aporie usuelle - la réponse au 10e problème de Hilbert en est un exemple d’autant plus saisissant que cette question n’avait pas été soulevée oralement par Hilbert durant sa conférence mais ajoutée par écrit, dans le compte rendu de celle-ci ! - c’est Youri Matiiassevitch qui l’a raconté.

    Je suis reconnaissant à André Warusfel - si mon souvenir est exact ! d’avoir lié cette « application de l’analyse » à un jeu très ancien, avec trois figures de la main pour signifier Feuille, Pierre et Ciseaux, de sorte que F > P > C, mais aussi C > F car les Ciseaux coupent la Feuille, laquelle enferme la Pierre qui broie les Ciseaux ... avec une remarquable violation de la transitivité. Notons en passant que Cicéron disait de l’un de ses amis qu’il était tellement honnête qu’on pouvait jouer avec lui à ce jeu même la nuit ! Ceci me paraît amusant à comparer avec l’honnêteté entendue, notamment par Jean-Charles de Borda, elle, comme une sincérité, sans « brigue » et sans manipulation, hors stratégie.

    Peut-être extrapolé-je imprudemment : les dérivées partielles sont inhérentes à l’analyse ; cette grande conquête de Lagrange qui parlait de « caractère » (et non de symbole) pour désigner sa notation delta, ôtant toute ambiguïté à la transitivité qu’Euler n’avait pas distinguée d’une dérivée ordinaire, ce qui le poussait à réclamer (en latin) une méthode affranchie de toute considération géométrique, par laquelle il deviendrait patent, dans une telle recherche d’un maximum ou d’un minimum, qu’au lieu de Pdp, il faut écrire -pdP (avec l’inversion des termes et le renversement du signe). Comme l’a si bien dit je ne sais plus qui : « l’agrégation des préférences individuelles fait émerger un ordre de préférences qui ne vérifie plus la condition de transitivité » … dont je voulais seulement souligner qu’elle faisait problème parce qu’elle était essentielle.

    Répondre à ce message
    • Et le vainqueur du second tour est... À propos de transitivité

      le 12 mai 2012 à 17:08, par Jérôme Germoni

      À propos du jeu « Pierre–Feuille–Ciseaux », il y a un long article de Pierre Parlebas dans le numéro 196 de Mathématiques et sciences humaines. (J’avoue avec un peu de culpabilité le citer sans avoir eu le courage de le lire.)

      Répondre à ce message
    • Et le vainqueur du second tour est... A propos de transitivité

      le 17 mai 2012 à 16:16, par Rémi Peyre

      Bonjour « julesdesp »,

      Merci pour votre commentaire. Je suis ravi que mon article vous ait plu et qu’il ait éveillé en vous autant de réflexions !

      Répondre à ce message
  • Quelques remarques

    le 12 mai 2012 à 22:19, par François Sauvageot

    Bonjour,

    il ne me semble pas clair que de faire des redressements pour adapter le vote par internet (sur l’un ou l’autre site) soit pertinent.

    D’une part ça veut dire que l’élection telle qu’elle est pratiquée en France a plus de valeur. Or il me semble que cette proposition de systèmes alternatifs vise justement à faire réfléchir sur ce point.

    D’autre part, c’est la même erreur que celle qui pose problème avec la méthode des quotas. Peut-on prouver qu’une personne au hasard prise dans la case « a voté pour X lors de l’élection réelle » a autant de chance d’apparaître dans le vote par internet qu’une autre dans la même case. Autrement dit faire une simple règle de trois permet-elle d’obtenir une estimation fiable de ce qui se serait passé si tout le monde avait pu/dü voter par internet ?
    La réponse est certainement « non ». Maintenant, comment quantifier la pertinence de cette estimation ? Je crois bien que c’est impossible !

    Alors ? Je pose la question de savoir ce qu’on peut bien déduire de ces votes « pour de rire ». Que le mode de scrutin influe sur les résultats ? Oui. Mais on le savait déjà.
    A-t-on besoin d’une nouvelle preuve ? Oui, pourquoi pas ? Mais alors il faut la crédibiliser un peu plus et ne pas laisser paraître que les calculs effectués sont complètement justifiés.

    En fait on pourrait partir des résultats complets de systèmes différents, comme le système irlandais et voir ce qu’il donnerait dans un scrutin uninominal à deux tours. Le résultat serait sans doute différent de celui qui a lieu et ceci sur l’ensemble des électeurs.

    Maintenant, autre point, peut-on estimer le nombre de gens qui refusent d’aller voter à cause du système choisi et qui le ferait si on en changeait ? Et réciproquement ?

    Bref, autant je suis convaincu du résultat, autant la démonstration pourrait m’en faire douter à la lecture des sites cités ! Curieux, non ?!

    Sinon, dernier point, à propos de Shifumi, c’est un vieil exemple, qu’utilisait Nash par exemple (mais ça doit remonter encore plus loin, j’imagine). Personnellement, j’aime bien le mettre en scène avec un carré magique 3x3. On fait jouer chaque ligne contre une autre ligne, en comparant « colonne par colonne » la valeur des cases. Chaque ligne en bat une autre et est battue par la troisième.

    C’est joli, et c’est une situation assez courante dans les jeux individuels pratiqués par équipe, comme les échecs par exemple en tournoi intercercles. Situation exploitée quand on a la chance d’avoir des joueurs non-classés qui sont en fait d’un excellent niveau : on peut avoir intérêt à ne pas les faire jouer sur les échiquiers les plus forts.

    En fait je pense que Pierre/Feuille/Ciseaux a justement été inventé à cause de sa propriété. Elle remonte probablement aux débuts de l’humanité (la feuille n’est pas nécessairement en papier) et je me risquerais bien à penser que, comme la courte paille qui tire son origine des celtes tirant les bois, ce genre de « jugement divin » était utilisé par les druides des peuplades celtiques. Mais j’avoue ne pas en avoir de preuve ferme.

    François Sauvageot.

    Répondre à ce message
    • Quelques remarques

      le 17 mai 2012 à 16:13, par Rémi Peyre

      Bonjour,

      Concernant les limites à l’interprétation des expériences citées par Vincent Beck et Jérôme Germoni, j’ajouterais qu’il faut garder à l’esprit que les résultats d’une élection dépendent de façon sensible de la campagne que les candidats ont menée (la quatrième place de Mélenchon, ou le resserrement des scores entre Hollande et Sarkozy, en sont des illustrations) ; or cette campagne est pensée en fonction du système de vote retenu : ainsi, la stratégie de Hollande a clairement été conçue dans la perspective d’un second tour contre Sarkozy, et il y a fort à parier que son discours aurait été tourné différemment s’il s’était attendu à affronter, disons, Bayrou ! Ou encore, si notre méthode électorale avait vérifié le critère de Condorcet, Bayrou se serait sûrement retrouvé sous le feu des projecteurs pendant toute la campagne électorale, et cela aurait certainement eu un effet non négligeable sur les intentions de vote — quoique je ne me hasarderais pas à deviner lequel...

      Répondre à ce message
  • Et le vainqueur du second tour est...

    le 26 juillet 2013 à 17:18, par le-nguyen.hoang

    Bonjour,

    Merci beaucoup Monsieur Peyre pour cette superbe série d’articles ! Je travaille dans des problématiques proches (en conception de mécanisme) mais je ne connaissais pas la plupart des systèmes de vote que vous avez présentés !

    J’ai une question par rapport à la méthode Shulze. En voyant le graphe des préférences binaires, et surtout après avoir lu le principe de la méthode, j’ai eu tendance à imaginer un processus de Markov qui décrivait les révolutions successives. On pourrait alors calculer la probabilité stationnaire de la chaîne de Markov. Le vainqueur de l’élection serait alors celui dont la probabilité stationnaire est la plus élevée. Ceci serait-il équivalent à Shulze ?

    Répondre à ce message
  • Et le vainqueur du second tour est...

    le 27 juillet 2013 à 22:48, par Rémi Peyre

    Cher M. Lê-Nguyen,

    Je suis ravi que ces articles vous aient plu ! Concernant votre question, la réponse est essentiellement « oui » : la méthode Schulze peut effectivement s’interpréter en termes de probabilités stationnaires d’un processus markovien. J’ignore néanmoins si Markus Schulze avait cette interprétation en tête lorsqu’il conçut sa fameuse méthode...

    Je présume que votre message demandait aussi, en substance, quel serait le processus markovien en question ! À vrai dire, il ne faut pas considérer un processus à proprement parler, mais plus exactement une asymptotique, càd. qu’on va regarder une famille de processus dépendant d’un paramètre $\lambda$, ayant chacun sa mesure d’équilibre, et que ce n’est qu’à la limite pour $\lambda$ tendant vers l’infini que cette mesure convergera vers une loi de probabilité qui, comme souhaité, donnera le plus grand poids au vainqueur de Schulze — on aura même mieux : la loi limite associera en fait la totalité de son poids au vainqueur de Schulze !

    Mais revenons à la description de (la famille de) processus markoviens. Pour le processus d’indice $\lambda$, je note $q_\lambda(X,Y)$ la probabilité par unité de temps que notre processus a de sauter (autrement dit, de “subir une révolution”) du candidat X vers le candidat Y. Naturellement, on veut que $q_\lambda(X,Y)$ ne dépende en fait de X et Y qu’au travers de la proportion $m(X,Y)$ d’électeurs qui préfèrent Y à X, de sorte que $q_\lambda(X,Y)$ peut se réécrire (avec un léger abus de notation) $q_\lambda(m(X,Y))$. Je fais alors les hypothèses suivante sur les $q_\lambda(m)$ :

    • Les $q_\lambda(m)$ sont à valeurs dans $(0,\infty)$ ;
    • Pour tout $\lambda$, la fonction qui à $m\in[0,1]$ associe $q_\lambda(m)$ est croissante ;
    • Pour tous $m_1 < m_2$, le quotient $q(m_2)/q(m_1)$ tend vers l’infini quand $\lambda$ tend vers l’infini ;
    • En outre, le rapport \[\frac{\log\bigl(q_\lambda(m_2)/q_\lambda(m_1)\bigr)}{\log\bigl(q_\lambda(1)/q_\lambda(m_2)\bigr)}\] tend vers l’infini quand $\lambda$ tend vers l’infini.

    (Les conditions ci-dessous sont vérifiées par exemple pour $q_\lambda(m) = \exp[-(2-m)^\lambda]$). Sous ces conditions, on peut démontrer que, quand $\lambda \to \infty$, la mesure stationnaire de notre famille de processus convergera forcément vers la mesure attribuant une probabilité de 100 % au vainqueur de Schulze.

    Remarque : Une chose intéressante est qu’on peut s’amuser à fixer d’autres hypothèses sur l’asymptotique du processus markovien (en particulier concernant la dernière condition), et que cela peut alors conduire à des mesures d’équilibres qui elles aussi convergent vers une loi concentrée sur un seul point, mais... pas forcément le même ! Autrement dit, selon la façon dont on met en œuvre l’idée des processus markoviens, on peut (à priori) en déduire plusieurs méthodes de vote différentes ! (même si les hypothèses conduisant à la méthode Schulze me paraissent les plus pertinentes pour ma part). Par contre, je ne sais pas quelles seraient ces autres “méthodes markoviennes”...

    Note : En dépit de mon intérêt sur le sujet, je ne suis malheureusement nullement expert dans le domaine des méthodes de vote, et de ce fait une bonne partie de ce que je raconte ne provient pas de documents dument référencés mais aussi d’un peu de travail personnel ; c’est en particulier le cas pour le théorème que j’énonce ci-dessus. (Cela ne signifie pas pour autant que ce théorème n’existe pas dans la littérature ; au contraire, c’est hautement probable : je veux juste dire que je ne l’ai jamais rencontré explicitement au cours de ma documentation). Il convient donc de prendre deux précautions par rapport à ma réponse :

    • En dépit du soin dont j’ai essayé de faire preuve, il reste un risque que l’énoncé tel que je l’ai donné soit en fait faux (mais le cas échéant, soyez rassuré, il existe à coup sûr un énoncé similaire qui, lui, est juste !) ;
    • À contrario, les conditions que j’ai données sont peut-être beaucoup trop fortes par rapport à ce qui est réellement nécessaire.

    Cordialement,
    Rémi Peyre

    Répondre à ce message
  • Et le vainqueur du second tour est...

    le 3 août 2013 à 07:00, par le-nguyen.hoang

    J’ai fini par vous retrouver de Sciencetonnante à Image des maths ! Merci pour les explications. Elles sont excellentes !

    Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.