L’article donne très envie de lire ce livre. Je suis cependant très sceptique quant à l’interprétation des lignes curvilignes à la place de segments rectilignes, dans la figure du manuscrit du 16ème siècle, pour la raison suivante. Les Grecs savaient parfaitement faire la différence entre une figure dessinée (représentant par exemple un triangle particulier) et la figure idéale désignant tous les triangles, ou un triangle quelconque. Ils faisaient même mieux la différence que nous, puisqu’ils utilisaient deux termes distincts : διάγραμμα (diagramme)pour le premier et σχήμα (schéma)pour le second. Voici un texte de Platon précisant bien cette différence :
"en outre [ceux qui s’occupent de géométrie] font usage de figures visibles (διάγραμμα), et sur ces figures ils construisent des raisonnements sans avoir à l’esprit ces figures elle-mêmes, mais les figures parfaites (σχήμα) dont celles-ci sont des images(…) Toutes ces figures qu’ils modèlent ou dessinent, qui portent des ombres et produisent des images dans l’eau, ils les emploient comme si c’étaient aussi des images, pour arriver à voir ces objets supérieurs qu’on n’aperçoit que par la pensée. »
( Platon : La République :chap. VI, 510 c–e)
Dans le célèbre épisode de la « Vie des hommes illustres » retraçant la mort d’Archimède, Plutarque écrit :
il était seul avec lui - même, en train d’examiner quelque chose sur une figure tracée (διαγράμματος), et, ayant donné à la contemplation à la fois sa pensée et son regard, il ne perçut rien ni des Romains qui couraient partout, ni de la ville prise » (Plutarque, Vie des hommes illustres, chap. VII)
Et lorsque Euclide parle des figures (déf. 14 du Livre I par exemple), il utilise toujours le mot σχήμα

Merci pour votre commentaire. Vous êtes visiblement bien plus savant que moi sur ces questions et je me garderais bien de commencer un débat sur ce sujet ! Les auteurs du livre me semblent des spécialistes reconnus mais ça ne veut pas dire qu’ils ont raison, bien sûr. La discussion est donc ouverte... Quoi qu’il en soit, l’idée de raisonner sur des figures imprécises me semble séduisante :-)

je n’ai pas appris le grec mais j’ai eu l’occasion à plusieurs reprises de constater la subtilité de cette langue et sa richesse de vocabulaire. En revenant à la version grecque du texte cité de Platon, je m’aperçois que j’ai extrapolé et que ça ne colle pas avec le vocabulaire utilisé par Platon. Cela ne remet pas en cause, je pense, le fait que Platon distingue vraiment dans ce texte la figure dessinée et la figure pensée, mais simplement que le vocabulaire grec est beaucoup plus subtil et varié que notre langage du « blanc ou noir », ou du « oui ou non ». Platon utilise ici le mot « graphos » = « écritures » ou « pièces écrites ». Sur la distinction « diagramma », « sgema » on peut aussi se reporter à la page 161 du volume I de la récente traduction française des éléments d’Euclide par Vitrac.