10 de marzo de 2013

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  • Peut-on dénouer d’autres polyèdres ?

    le 12 de marzo de 2013 à 23:58, par Quentin

    Merci pour ce bel et surprenant article, dont le titre est fort curieux.

    Je me demandais si il s’agit d’une perle isolé ou si des constructions similaire peuvent avoir lieu avec les autres polyèdres, voir leurs «grands cousins»?

    Cordialement.

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    • On ne dirait pas...

      le 14 de marzo de 2013 à 00:54, par Clément Caubel

      Merci pour votre commentaire et votre question ! Je pense qu’il faut se mettre d’accord sur «construction similaire». Pour moi (et peut être un peu arbitrairement), ce serait le fait que les sommets de l’icosaèdre se divisent en trois paquets égaux, chacun délimitant une composante plane et centrée en l’origine d’un entrelacs intéressant.

      Il me semble qu’en dimension 3 seul l’icosaèdre ait cette propriété : le seul autre à avoir un nombre de sommets divisible par 3 est l’octaèdre, mais 2 sommets, ça ne délimite pas une courbe fermée...

      En dimension $n\geq 4$, on diviserait les sommets en $n$ paquets d’au moins $n$ sommets (nombre minimal pour délimiter une composante d’entrelacs en dimension $n$). Ne restent alors que l’hypercube à $2^n$ sommets, si $n$ est une puissance de 2, et le 24, le 120 et le 600 en dimension 4. Pour ces deux derniers, il faudrait des paquets de 150 ou 30 sommets tous dans le même hyperplan, ce qui semble difficile ! Pour le 24 et les hypercubes, après quelques essais je n’y crois pas trop, mais je n’ai pas d’argument direct (y a-t-il un spécialiste dans la salle ?)

      Il semblerait donc bien que l’icosaèdre soit une perle de ce point de vue.

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      • On ne dirait pas...

        le 16 de marzo de 2013 à 12:52, par Quentin

        Merci de la réponse,

        je n’ai moi aussi pas trouvé d’autres constructions intéressantes mais en cherchant sur mathcurve.com je suis tombé sur ce dessin:

        http://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodectoit2.gif

        Il montre (grâce à la construction de l’article) qu’un dodécaèdre peut être vu comme un cube avec un icosaèdre (non régulier, mais pas très irrégulier). Cela m’a surpris et amusé, alors je le partage même si ce n’est pas trop en relation avec l’article :)

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  • Peut-on dénouer l’icosaèdre ?

    le 13 de marzo de 2013 à 15:17, par Rémi Peyre

    Très sympa, cet article ; j’ai beaucoup aimé ! :-D

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