Chère Michèle,

Je te trouves très sévère avec Martin Schilling quand tu qualifies son modèle de « raté », même tempéré par « peut-être », et même si tu précises dans la note 2, qu’il s’agit d’une opinion qui peut être discutée. Pour tout dire, je te trouve même un peu de mauvaise foi. ;o)

Je m’explique :

Commençons par la première figure, rose et bleue, légendée Théorème Belge.
Tu évoques « l’intersection d’un cône (assez virtuel) et d’un plan (totalement inexistant) » . C’est très exagéré.

D’une part le cône est visible dans ses parties supérieure et inférieure, ce que tu dis d’ailleurs dans ta descrtiption,mais il y a même une génératrice métallique, que l’on voit bien à droite de la photo. D’autre part il ne t’aura pas échappé que l’ellipse du modèle est le bord d’un morceau de tôle ajouré qui est vissé sur chacune des demi sphères (visible sur la photo 2). Le plan de la tôle est bien réel et pas du tout inexistant !

Par ailleurs, dans cette figure bleue et rose, les deux sphères portent des cercles qui n’ont pas grand chose à voir avec le théorème. Passe encore pour celui qui représente l’équateur de la petite sphère, (même s’il n’intervient pas dans le théorème), mais l’autre ? Ni équateur, ni cercle tangent au cône, ni aucune existence dans la maquette.

Pourquoi ne pas avoir donné le même schéma que celui qui figure dans la démonstration ?, et qui a l’avantage d’avoir entièrement sa contrepartie dans le modèle :

• Les deux cercles où les sphères sont tangentes au cône sont visibles sur la photo. Celui du haut montre bien l’espace entre le sommet du cône et la portion de sphère. Il y a le même espace (mais non visible ici) entre la sphère du bas et la partie inférieure du cône. Ces deux espaces ont leur importance pour le modèle

• les deux foyers F et F’ de l’ellipse sont précisément les points où la tôle ajourée citée plus haut (et dont l’ellipse est le bord), est vissée sur les deux sphères. Il est donc parfaitement visible que le plan est tangent aux sphères.

• le segment MM’ est matérialisé dans le modèle par la tige métallique que j’ai citée. Cette tige métallique est en fait plus complexe qu’un simple segment puisqu’elle peut tourner autour de l’axe du modèle.Si O et O’ sont les centres des cercles passant par M et M’, la tige est formée des trois segments OM, MM’, M’O’. Cette "génératrice peut donc tourner autour du cône. Le fait qu’elle soit métallique implique que la distance MM’ est constante.

• Enfin, un fil (inexistant aujourd’hui sur la maquette) passe par les deux points de fixation en contournant la génératrice au point P. On peut ainsi s’assurer qu’il reste tendu pendant que la génératrice tourne autour du cône, et que le point P décrit l’ellipse. (Evidemment, s’il n’y a plus le fil, c’est moins visible).

Par ailleurs, tu dis au début : « non ce n’est pas une photo ratée ». Si ! Elle est sous exposée, et prise derrière une vitrine, ce qui en masque une partie des détails, par exemple le foyer qui est visible.

Tu précises à la fin que « les modèles en plâtre du maçon semblent avoir été plus réussis que notre modèle en bois et cuivre ». Là encore, je te trouve sévère avec Schilling. D’une part, il y a aussi des modèles en plâtre dans sa collection, montrant les intersections possibles d’un cône et d’un plan (et ils sont visibles à l’IHP), et d’autre part ces modèles ne montrent rien concernant le théorème de Dandelin (et sûrement les modèles du maçon non plus). Non seulement le modèle illustre le théorème, mais c’est même l’un des rares cas que je connais où un modèle donne presque intégralement la démonstration !

Evidemment, il est plus facile de l’apprécier quand on connait déjà le théorème, mais il en est de même pour presque tous les modèles de Schilling.

Ces modèles étaient destinés à être montrés en amphi, avant que les étudiants ne s’en approchent. Par exemple, les modèles de la collection des polyèdres sont d’une taille inutilement grande s’il s’agissait seulement de les montrer dans une vitrine.

Pour finir, j’ai une question : Comment aurais tu fait, toi, techniquement, physiquement, pour illustrer et mettre en oeuvre ce théorème ?

Bien amicalement

Jean

Cher Jean

je suis très honorée (et je suis sûre, Rossana aussi) de ta visite sur notre article. Les critiques « modèle raté » ne s’adressaient pas à la figure rose et bleue (qui a ses défauts mais montre ce qu’on veut qu’elle montre) mais au modèle en bois et métal lui-même.

Je maintiens que, s’il s’agit de montrer l’intersection d’un cône et d’un plan, c’est raté... puisqu’il n’y a ni cône ni plan.

je maintiens aussi que j’accepte que l’on soit d’un autre avis.

Comment aurais tu fait, toi, techniquement, physiquement ?

Mais, je ne sais pas faire ça, bien entendu ! Ma technique à moi, c’est l’écriture, pas le plâtre, le travail du bois ou du métal. J’espère simplement que, dans notre article, le théorème belge, par l’écriture, est un peu clair.

Encore merci

Michèle

Chère Michèle,

Pardonne mon retard mis à te répondre, mais je rentre juste de la bibliothèque de l’IHP, où je suis allé pour toi ce matin prendre des photos du dit modèle, avec des gros plans sur les détails. Cela m’a donné l’occasion de constater que ma mémoire m’avait un peu trahi : ce n’est pas la génératrice qui tourne (elle est fixée sur les deux portions de cône) mais l’ensemble des deux portions de sphère et de l’ellipse, ce qui ne change rien au principe.

J’ai également photographié le modèle en plâtre illustrant les trois types d’intersections non dégénérées (ellipse, parabole et une branche d’hyperbole.)

J’avais bien compris que la première partie de votre article critiquait le modèle, et non la figure rose et bleue. Mais puisque la dite figure est sensée rendre compte, sous forme de schéma, des photos vues précédemment, je maintiens qu’il eut été préférable de donner celle qui accompagne la démonstration.

Dans ta réponse, tu me dis « je maintiens que, s’il s’agit de montrer l’intersection d’un cône et d’un plan, c’est raté ... ». Tu as raison ! Il existe d’autres modèles, par exemple en plâtre, qui font ça très bien. Mais il ne s’agit pas de ça ! il s’agit d’illustrer physiquement le théorème de Dandelin pour les ellipses, et de montrer ainsi, ce que tu dis, que les ellipses d’Apollonius et celles des jardiniers sont bien un même et unique objet. Ce qui suppose bein sûr qu’on sait déjà que l’intersection d’un cône et d’un plan peut être une ellipse !

Une question que l’on peut se poser, à propos de ce modèle, est : « pourquoi faire un modèle alors que la démonstration est si simple ? » Je n’ai pas de réponse. Peut être parce qu’il paraît que 30% de la population ne perçoit pas le relief dans un dessin plan, au trait, c’est à dire n’arriverait pas à interpréter les deux schémas (le « rose et bleu », et le « bon »).

Une autre question est : « Comment Apollonius, qui a découvert l’existence des foyers des coniques, ce qui ne saute vraiment pas aux yeux quand on les définit en terme d’intersections, a pu passer à côté de ce théorème magique de simplicité ? ». (je dis magique, parce que c’est encore l’effet de mon ébahissement quand je l’ai appris, il y a cinquante ans. C’est simplement beau !)

Quant au « Comment aurais tu fait .... », c’était juste une petite pique amicale en souvenir de Martin Schilling. Il n’est vraiment pas facile de transformer des théorèmes en objets physiques. Cela mérite un peu d’indulgence. Cela dit, on peut ne savoir travailler ni le bois, ni le plâtre, ni le zinc, mais avoir quand même des idées sur ce qu’il faudrait faire....

Bien amicalement

Jean

PS : je ne sais pas comment joindre à ce commentaire les photos que j’ai faites ce matin, et qui étayent mon premier message. Je te les adresse par mail standard, hors IdM, pour info, et pour usage sur IdM, si tu le souhaites, et si c’est techniquement possible.

Cher Jean

C’est avec plaisir que j’ajoute les photographies — le modèle sorti de sa vitrine — que tu commentes dans ton message ici (ce n’est pas comme auteur de l’article mais comme administratrice du site (et au prix de plusieurs manipulations) que j’ai pu le faire, en effet je ne crois pas que tu aurais pu le faire toi-même).

J’ajoute que le point principal de cet article était de présenter les « théorèmes belges » et différentes illustrations ou apparitions littéraires liées aux images (en situation, derrière leurs vitres et leurs reflets, dans la bibliothèque), et certainement pas de polémiquer sur les qualités de tel ou tel modèle.

Il est clair qu’un article sur les modèles mathématiques reste à écrire sur ce site. Avis aux amateurs. Un portrait d’un des auteurs de ces modèles, peut-être ?

Encore merci pour tes commentaires et ton aide.

Chère Michèle,

Merci d’avoir placé ces photos sur le site. Le lecteur comprendra sans doute mieux maintenant la teneur de mes commentaires.

Quant à un article sur les modèles, je vais y réfléchir. Il y a des problèmes variés, qui tiennent à l’utilisateur, au mode d’emploi, aux conditions d’emploi, aux lieux d’expositions, et bien sûr aux buts poursuivis. Ici, ce modèle était clairement un modèle « pédagogique », destiné à être utilisé par le prof pendant son cours, avant de l’être éventuellement par les élèves.

Bien amicalement

Jean