30 janvier 2014

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  • Résolution des équations de degré 3 et 4

    le 3 février 2014 à 14:05, par Grégory Miermont

    Bonjour, N’est-ce pas Niels Abel qui est représenté à la fin de l’article, et non Evariste Galois ?
    Bien cordialement,
    Grégory Miermont

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  • Résolution des équations de degré 3

    le 22 février 2014 à 15:20, par Marc JAMBON

    Contrairement à ce que vous annoncez, dans le paragraphe La méthode de Lagrange, rindice1, rindice2, rindice3, ne sont pas les sommets d’un triangle équilatéral. Il n’empêche que ce qui suit est quand même exact sans difficulté : l’ensemble des deux nombres : uexposant 3, vexposant 3, est bien invariant par permutation sur les racines.

    Le lien avec la théorie de Galois n’est pas aussi évident que vous semblez l’imaginer. Il me pataît même étranger à l’article. En effet les nombres uexposant3 et vexposant3 sont complexes, précisément lorsqu’il y a trois racines réelles pour l’équation du troisième degré initiale, ce cas est en effet caractérisé par

    pexposant3 + 27 qexposant2 < 0 .

    Les corps intermédiaires de la théorie de Galois restent des sous-corps de R, ni le nombre j, ni uexposant3, ni vexposant3 n’en font partie.

    Enfin, une équation du troisième degré réduite est mal résolue par les formules de Lagrange parce qu’il n’y a pas de méthode algébrique de recherche des racines cubiques d’un nombre complexe alors que c’est possible pour les racines carrées dans R*+.
    Une des applications de la théorie de Galois est la théorie des équations polynomiales résolubles par radicaux carrés de nombres positifs et par la même dont les racines sont contructibles avec la règle et le compas.

    Une équation du second degré à coefficients complexes est résoluble, moyennant une dicussion sur des signes de nombres réels, par radicaux carrés composés de nombres réels positifs.

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  • Résolution des équations de degré 3

    le 23 février 2014 à 14:05, par Marc JAMBON

    Voir aussi l’article Soit G un groupe – Où l’on parle de groupe et du théorème de Galois de Christine Huygues (article du 25 octobre 2011).
    Mon commentaire du 29 nov 2011 est partiellement reproduit et amélioré ci-dessous. Attention, les notations sont différentes : l’équation réduite du 3ème degré est écrite sous la forme

    x^3 + 3px + 2q = 0

    Soit d le produit des différences des racines a, b, c du polynôme du troisiéme degré, à coefficients rationnels : x^3 + 3px + 2q

    d = (a - b)(a - c)(b - c)

    d^2 est une fonction symétrique des racines et se calcule donc comme fonction polynômiale des coefficients du polynôme, on trouve :

    d^2 = –108[p^3 + q^2] = 36 . (–3) (p^3 + q^2)

    Soit L la plus petite extension du corps Q contenant les racines a, b, c. Soit G le groupe de Galois de L par rapport à Q, c’est à dire le groupe des automorphismes de L conservant les éléments de Q. Admettons que G est isomorphe à un un sous groupe de S3 groupe des permutations sur trois éléments (précisément : a, b, c). Soit maintenant g élément de G,

    g ( d ) = signature (g) . d

    Lorsque d est rationnel g(d) = d

    il en résulte : signature (g) = 1

    D’où la discussion lorsque x^3 + 3px + 2q est irréductible sur Q,

    –3[p^3 q^2] est un carré parfait dans Q ou non.

    Supposons que j’ai déterminé a la racine réelle ou la plus petite racine rélle (lorsqu’il y a trois racines réelles),

    a étant supposé connu, je calcule d = [(a - b)(a - c)] (b - c),

    (a - b)(a - c) puis son inverse s’expriment (laborieusement) dans le corps Q(a). Tous calculs fait :

    b - c = d(2p^2 – qa pa^2) / 6(p^3 q^2)

    Comme b + c = - a, il s’ensuit que b et c sont dans Q(a,d), plus petit corps extension de Q engendrée par a et d, c’est précisément le corps L cherché.

    Conclusion. Lorsque –3[p^3 + q^2] est un carré parfait dans Q, le groupe de Galois est A3 et l’extension de corps L se réduit à Q(a).

    Lorsque –3[p^3 + q^2] n’est pas un carré parfait dans Q, le corps intermédiaire cherché est Q(d) dont le groupe de Galois par rapport à Q est S2 et le groupe Galois de L par rapport à Q(d) est le groupe alterné A3.

    Les formules de Cardan, si belles soient-elles, nous plongent dans un corps trop grand, surextension de L (introduit ci-dessus), ceci notamment dans le cas où l’on est obligé de passer par des nombres complexes pour trouver trois racines réelles !

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  • Résolution des équations de degré 3 et 4

    le 23 février 2014 à 20:14, par Marc JAMBON

    Attention, certains signes + , – ont fâcheusement tendance à disparaître dans les copiés-collés. En particulier : 9 ème ligne à partir de la fin du commentaire ci-dessus du 2 février 14 h 05.

    bc = d(2p^2 – qa + pa^2) / 6(p^3 + q^2)

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  • Résolution des équations de degré 3 et 4

    le 27 mars 2016 à 17:03, par takyonef

    Bonjour ,

    Voici une recette de cuisine (lien ci joint)

    https://www.dropbox.com/s/g710eosav1f40ht/EQUATION DU QUATRIEME DEGRE+.doc ?dl=0

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  • Résolution des équations de degré 4

    le 27 mars 2016 à 17:09, par takyonef

    Bonjour ,

    Voici une recette de cuisine (lien ci joint)

    https://www.dropbox.com/s/g710eosav1f40ht/EQUATION%20DU%20QUATRIEME%20DEGRE%2B.doc?dl=0

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