1er octobre 2013

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  • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

    le 1er octobre 2013 à 19:28, par Jean-Pierre Kahane

    Ce billet me parait bienvenu. Il ne dissimule pas les obstacles, mais il donne de bons arguments pour ne pas lâcher les probabilités et la statistique. Elles ne s’opposent pas à l’algèbre, l’analyse ou la géométrie, elles créent au contraire de nouvelles approches et de nouveaux liens.

    L’exemple de la moyenne, que donne le billet, est éclatant ; ce peut être le point de départ de tout une réflexion. Il est introduit dans tous les cours de statistique, et le danger est qu’il y reste, la machine se chargeant du calcul. Si on le lie au calcul mental, les propriétés de la moyenne relativement à la translation ou à la dilatation des données s’imposent : comment calcule-t-on la moyenne de 1010, 1020, 1030 ? Et comment faire pour la moyenne de 1010, 1020, 1030, 2010, 2020, 2030 ? Et pour celle de 1010, 1020, 1030, 1040, 2010 ? On voit apparaître les groupements de termes et le moyennes pondérées. La traduction en géométrie, c’est le barycentre et les façons diverses de le construire, avec les propriétés géométriques correspondantes ; si elles ont disparu des programmes, il faut les faire revenir. Le barycentre, c’est aussi le centre d’inertie, et la moyenne a été liée par Legendre à la méthode des moindres carrés, souvent considérée comme le point de départ historique de la statistique. Il serait dommage de ne pas donner en exemple de parabole la représentation de la somme des carrés des distances à des points donnés, et de voir leur moyenne comme l’abscisse du sommet.

    Pour la médiane, c’est la somme des distances qui intervient, et c’est l’occasion de voir une fonction affine par morceaux. Et la traduction dans le plan et l’espace à des systèmes d’un petit nombre de points fait apparaître des points remarquables (point de Steiner d’un triangle,etc). Il est vrai que sur la droite seul l’ordre intervient ; quid dans le plan ?

    Le lien à l’analyse est évident : la moyenne est une intégrale. Aux probabilités : c’est l’espérance. La traduction peut se poursuivre avec la variance. Fondamentalement les probabilités se relient à l’analyse parce que ce sont deux approches pour évaluer ce qui est grand et ce qui est petit. Il est vrai qu’une comparaison de la loi de Gauss et de la loi de Cauchy est instructive et attrayante.

    J’ai juste écrit le mot qui convient. Il faudrait que les probabilités et la statistique soient attrayantes pour les élèves, exercent leur imagination et la disciplinent. Et naturellement pour cela il faut qu’elles soient attrayantes pour les professeurs. Pierre Arnoux et jean-Pierre Raoult en ont pleinement conscience, et ils savent mettre la main à la pâte pour qu’il en soit ainsi.

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  • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

    le 3 octobre 2013 à 10:35, par Karen Brandin

    Je m’excuse par avance parce que faute de temps, j’ai été contrainte de lire votre article et le commentaire qui a suivi trop rapidement ; si je me permets d’intervenir malgré tout, c’est que je me souviens parfaitement du billet de Pierre Colmez peut-être parce que j’aurais vraiment pu écrire la même chose au même moment.
    Vous avez de ces thèmes une vision du-dessus, une vision éclairée, sans aucun doute passionnée donc vous êtes en mesure d’en appécier toutes les subtilités et d’exploiter les correspondances avec les autres -ou du moins certaines autres- branches des mathématiques mais qu’en est-il au lycée ?

    Examinez les sujets du bac 2013 qui, France mise à part (nous sommes le seul pays à avoir consciencieusement évité ce thème pourtant phare puisque caractéristique du nouveau programme), ont tous consacré un exercice à la manipulation de la loi normale centrée ou « à centrer ».
    Comment des exercices aussi élémentaires où il s’agit bien spuvent d’aller saisir une donnée chiffrée dans un tableau de valeurs peuvent-ils être enrichissants ou représentatifs ?
    De mon côté, j’ai une formation en théorie des nombres mais j’aurais fait des études d’analyse orientée probas/stats, je préfèrerais sincèrement ne pas voir présentée la loi normale au lycée que de la voir à ce point dénaturée.

    Il est impossible vue la densité, l’hétérogénité du programme de terminale S de faire correctement les choses en donnant un sentiment de cohérence, de correspondance. On en est réduit à du pointillisme ; touches par touches, on applique un peu de récurrence par-ci, un peu de complexes par-là, un peu d’intégration, un peu de logarithme népérien, un peu d’exponentielle, un peu de géométrie analytique dans l’espace, un peu de probas discrètes et une touche de lois continues. Assez pour « briller en société » lors d’un dîner sans doute mais trop peu, désespérément « trop peu » pour avoir ne serait-ce qu’envie de mieux connaître cette matière et de s’y consacrer.
    Pas plus tard qu’hier, une terminale S d’un grand lycée bordelais (qui tend chaque année vers les cent pour cent de réussite au bac) me demandait des exercices supplémentaires sur ... le calcul fractionnaire ! parce que l’enseignant, désireux de les secouer, leur a fait un petit test surprise sur les fractions, les racines, carrées, les ordres de grandeur et la moyenne de la classe a été catastrophique. On marche sur la tête.

    En première S, la pupart des élèves sont en train de compléter le cours de seconde sur le second degré par l’inévitable discriminant and co. Après des exercices strictement mécaniques et assez pénibles de résolutions d’équations, d’inéquations en tous genres, je leur donne le tracé d’une parabole et leur demande d’en déduire le signe des coeffcients a, b et c ainsi que celui du fameux delta. Cette requête, qu’en toute bonne foi je considérais comme une récompense, a failli soulever une émeute. Ils ne font aucun lien avec la géométrie ; résoudre $ax^{2} +bx+c=0$ est un processus systématique, à ingurgiter puis à consommer sans modération mais qui est sans rapport a priori avec la recherche des abscisses des éventuels points d’intersection de la parabole considérée avec l’axe (Ox).
    C’est décourageant.

    La semaine dernière, toujours en soutien, une 1S tombe sur un calcul du type $\sqrt{45} -\sqrt{45}$ qu’elle me propose de « simplifier » si l’on peut dire en utilisant la quatité conjuguée !!!! Elle ne voit pas que ça fait zéro. :-(
    Nous sommes tellement démunis que vraiment aborder des thèmes et des objets aussi subtils que les lois de probas nous paraît irréaliste.

    Il ne s’agit pas de hiérarchiser les domaines des maths, ou de distinguer « ce qui vaut la peine » et ce qui vaut « moins la peine » mais simplement de parer au plus pressé car on en est là.
    La plupart des terminales S ne penseront jamais le calcul d’une intégrale en termes d’aires et l’an dernier je me suis battue comme d’autres sans aucun doute au moment du complément en probas continues pour les contraindre à dessiner, à hachurer inlassablement les aires sous les gaussiennes de sorte de retrouver sans mémoriser les liens entre certaines probas.
    Le problème est immense et personne ne semble en prendre la mesure, ce qui me décourage.

    J’espère vraiment qu’à l’issue de cette année, certains enseignants en première année de classes préparatoires prendront la plume pour nous donner leur sentiment vis à vis de ce nouveau public.

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    • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

      le 8 octobre 2013 à 09:37, par Julien Puydt

      Je suis professeur de mathématiques en spé depuis quelques années, et depuis cette année, d’informatique commune en sup.

      J’abonde dans le sens de Karen Brandin.

      Je dirais même plus : quand je vois comment vous comparez le magnifiques programmes de lycée qui mentionnent certaines lois avec les affreux (brouillons/projets de) programmes de spé qui n’en mentionnent pas autant, j’enrage un peu. D’un côté, on a des mots sur du papier, qui traitent d’un peu tout, tellement tout que c’est du saupoudrage ; les attendus sont légers, légers, légers. De l’autre, on a un programme assez précis, dont un maximum de résultats sont prouvés et réellement traités, parce qu’en concours, il n’est pas question de faire d’impasse.

      Il est intéressant de regarder les programmes de physique de sup : le plus gros est à la fin, en annexe. Ce sont les résultats mathématiques que les collègues vont devoir présenter aux étudiants parce qu’ils n’ont pas les bagages... cherchez l’erreur.

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  • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

    le 3 mai 2014 à 16:47, par christophec

    Je témoigne aussi dans le sens de Karen Brandin. Avant de déployer une abondante rhétorique, il me semble qu’il faille préciser de quoi on parle et quelle question on se pose :

    1) Si on se demande si les probabilités et les statistiques sont importantes et qu’on argumente pour défendre la réponse « oui », ce genre d’article répond à la question.

    2) Mais si la question est « faut-il les enseigner dans le secondaire ? », il me semble hors-sujet. Il y a une différence entre expliquer pourquoi les enseignants du secondaire y sont instinctivement hostiles et prouver qu’ils ont tort.

    L’évolution du secondaire a été d’aller vers de moins en moins de formation au formel (même si cet impératif de confronter les élèves au formel est prétexté opéré par les instructions d’introduire à la programmation informatique (aussitôt diluées par les contre-instructions interdisant d’enseigner la programmation au profit d’introduire à « l’algorithmique » dont la sanction des textes n’est pas manichéenne)

    Cette évolution peut servir de prétexte aux défenseurs d’introduire des probabilités et des statistiques au motif que « maintenant » les élèves seraient habitués à recevoir des informations sous des formes « parlées courantes » (ceci tend vers cela, ceci converge vers") en cours de mathématiques.

    Or justement, ces thèmes (les probas-stats) ne peuvent être appréciés, même ne serait-ce qu’un peu, que par des pensées qui ont d’abord été un peu « traumatisées » par du formel simple, dont l’utilité a été « ressentie » d’une manière ou d’une autre, puis qui, cette édification réussie, vont, dans un deuxième temps s’épanouir en les abordant et les comprenant (un peu).

    C’est pour ça que ces thèmes imposés dans les programmes aggravent encore l’état du secondaire et ajoutent au désarroi des enseignants : il leur est difficile d’exprimer qu’un enseignement mathématique, qui n’est déjà pas facile à dispenser, mais au moins peut-on dire que les lignes de bagarre sont clairement identifiées (la difficulté du formel face à l’hostilité de l’ado à ça) n’est pas soulagé ni enrichi par un thème faussement non formel, mais au contraire, encore un peu plus en quelque sorte « anéanti ».

    On demanderait aux enseignants de mathématiques d’enseigner l’anglais, au moins pourraient-ils dire « vous me demandez d’enseigner une langue que je ne sais pas parler ». En leur demandant d’enseigner une langue sociologiquement courante, mais de plus couramment parlée par des experts issues de formations mathématiques authentiques leur ôte même la possibilité d’exprimer la difficulté.

    Ce n’est pas parce que quelque chose est important qu’il doit être forcément introduit dans le secondaire. Ce n’est d’ailleurs pas forcément « à l’école » qu’on apprend tout ce qu’on sait faire. Par exemple, aucune école n’a jamais appris à qui que ce soit (autre que des « déjà-passionnés-avant ») à programmer des ordinateurs. Pire que ça : toute tentative d’enseigner la programmation conduirait probablement le nombre de programmeurs à diminuer spectaculairement (les tentatives échouantes de déclencher ces savoirs-faire dégouteraient des proportions importantes de gens qui sinon s’y seraient mis, par exemple).

    Il n’est pas exclu qu’il en aille de même pour ces thèmes où les preuves irréfutables des théorèmes les concernant sont à peine accessibles à bac 4, les dogmes sur « les vrais/faux hasards » qui y sont engagés nécessitent au minimum la passion d’un master de philosophie ou de mécanique quantique et le reste est de la vulgarisation standard inopérante et piégeante de journal télévisé de grande écoute. Sans parler du fait que la seule façon de trancher, dans des énigmes de probas stats, face à des textes qui se revendiquent les solutionner, consiste à déployer une compétence au formalisme bien au delà de tout ce qu’on attend généralement du formalisme qui arbitre une finale sur des textes qui se chamaillent avec la même revendication face à des énigmes mathématiques de beaucoup d’autres thèmes

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    • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

      le 6 juin 2014 à 09:11, par Jean-Pierre Raoult

      Une réponse à ce commentaire, ainsi qu’à certains placés après un billet ultérieur (http://images.math.cnrs.fr/Intervalle-de-confiance-pourquoi.html), figure dans le billet mis en ligne le 3 juin 2014, titré « Intervalle de confiance, le débat continue » :
      http://images.math.cnrs.fr/Intervalles-de-confiance-le-debat.html

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