Merci pour ce billet ! Du coup je suis allé regarder l’article d’Euler ; et j’ai eu l’heureuse surprise de constater que celui-ci se laissait comprendre plutôt agréablement, même par le lecteur moderne que je suis... C’était très intéressant de voir comment on faisait et écrivait les mathématiques à l’époque !

Du reste, j’ai l’impression qu’Euler évoque dans son article uniquement la somme alternée des entiers, et jamais leur somme positive — même si le résultat qui lui est attribué est indiscutablement dans l’esprit et dans le prolongement immédiat de son travail. Peut-être qu’Euler se refusait justement à donner une somme négative à une série de termes positifs ? Quand on lit son article, on voit qu’il définit plus ou moins explicitement la somme d’une série divergente par un certain procédé (consistant à multiplier par une exponentielle décroissant infinitésimalement lentement et regarder si la somme (cette fois-ci convergente) obtenue tend vers une certaine valeur), définition qui lui permet de donner un sens à la somme alternée des puissances n-ièmes, mais pas à leur somme positive... (laquelle continuerait en effet d’apparaitre comme valant $+\infty$). Il y a ainsi lieu de penser qu’Euler s’était peut-être effectivement aperçu qu’un corollaire de sa méthode était l’“égalité” « 1 + 2 + 3 + ... = -1/12 », mais qu’il s’était refusé à l’écrire, car ne parvenant à lui donner un sens convaincant !

Et du reste, le cas échéant, le grand homme aurait eu raison : car quand on regarde les vidéos justifiant ce fameux calcul, elles reposent sur un certain nombre d’axiomes (invariance par décalage, linéarité) qui deviennent incohérents quand on suppose que « 1 + 2 + 3 + ... » correspond à une valeur finie (on peut en effet en déduire par des manipulations de décalage et combinaisons linéaires que 1 = 0) ; alors si on se restreint au cadre dans lequel Euler définit la somme de ses séries alternées, on ne peut pas faire apparaitre d’incohérence !

Dernière remarque : grâce à l’article d’Euler j’ai enfin compris pourquoi la somme obtenue coïncidait avec $\zeta(-1)$. Merci encore donc pour me l’avoir fait découvrir ! :-D

Préciser la pensée d’Euler requiert un véritable travail d’histoire des sciences dont je suis bien incapable. Mon propos était d’en profiter pour illustrer la clarté et la liberté apportée par un formalisme moderne bien compris.

Un mot quand même sur le point de vue d’Euler. L’introduction à son article « De seriebus divergentibus » (1760) (dont on peut trouver une traduction et un commentaire ici) décrit les controverses sur les séries divergentes. Il distingue effectivement les séries comme 1+2+3+4+5+... dont les termes sont positifs et croissants. Il mentionne bien l’absurdité à trouver une valeur négative à une somme de termes positifs (pour aussitôt remarquer que ce n’est pas si clairement absurde puisque par exemple 1/x passe par l’infini entre des valeurs positives et négatives).

Euler conclut son introduction en remarquant que les séries viennent du développement de fonctions et qu’il n’y a donc aucun problème à leur assigner la valeur de cette fonction : la question de l’existence et de l’unicité d’une telle fonction (de quelle nature ?) n’est pas abordée.

Comme je le disais, comprendre la vision d’Euler (et de ses contemporains) relève vraiment d’un travail d’historien : les notions qu’il utilise sont presque toujours un peu voire très différentes des notions modernes (même sa notion de série convergente est en désaccord avec la notion moderne), il se situe (c’est clair dans cet article) dans le cadre d’une controverse remontant à la génération qui le précède et dont les termes m’échappent.

Mais peut-être un historien lit-il ces lignes et souhaitera nous éclairer ?