10 avril 2014

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  • Le problème de Sin Pan

    le 10 avril 2014 à 18:18, par skilveg

    Remarquons qu’il existe aussi une solution plus simple (et moins géométrique) : en considérant le problème comme un système de $n$ équations à $n$ inconnues complexes, on cherche à identifier l’image de la matrice $I+C$ où $C$ est circulante d’ordre $n$. Le déterminant de $I+C$ est $1+(-1)^{n+1}$, on retrouve bien la condition de parité et la solution dans le cas impair ; dans le cas pair, une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une solution est l’annulation de la somme alternée des points de l’énoncé.

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    • Le problème de Sin Pan

      le 10 avril 2014 à 20:42, par Aziz El Kacimi

      Merci pour votre commentaire. Je ne suis pas étonné qu’on puisse résoudre ce problème
      par des méthodes algébriques vu qu’on peut tout situer dans le plan complexe. Par contre,
      solution plus simple, je doute un peu ! Je dirais plutôt plus directe, et encore cela
      reste à vérifier : rédiger tout pour le mettre à la portée du lectorat de la rubrique
      peut demander pas mal de texte !

      La géométrie a l’avantage d’offrir du visuel : tout se voit, rien n’est caché par le calcul.
      Je réagis ainsi probablement parce que j’ai la mauvaise habitude d’interdire à mes
      étudiants d’avoir systématiquement recours à un repère quand il s’agit d’un problème
      de géométrie élémentaire plane. Il faut aussi se rappeler, que même au niveau Terminale,
      la notion de matrice (quand la taille dépasse 2) n’est pas si facile à manipuler. Et puis, il est difficile d’imaginer qu’une formulation algébrique (quelle qu’elle soit) ne soit pas subordonnée (de façon explicite ou implicite) à une méthode géométrique traditionnelle.

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  • Le problème de Sin Pan

    le 11 avril 2014 à 14:07, par Âne Onyme

    Bonjour,

    On trouve ce problème, comme beaucoup d’autres de ce type, dans les excellents livres Geometric transformations de I. M. Yaglom (volume 1, chapitre 1, problème 15), par exemple. Il me semble en tout cas l’avoir vu à plus d’une reprise (lors de la pépinière de l’académie de Versailles, dans le cours de géométrie pour les olympiades de Pierre Dehornoy…)

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    • Le problème de Sin Pan

      le 11 avril 2014 à 15:45, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Je n’ai trouvé le problème de Sin Pan nulle part, ni par Internet ni dans les nombreux
      ouvrages de géométrie (de divers niveaux) de ma bibliothèque. Je ne connaissais pas ces livres de I.M. Yaglom. Merci de me les avoir signalés.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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  • Le problème de Sin Pan

    le 14 avril 2014 à 18:22, par Aziz El Kacimi

    On vient de me signaler que ce problème est proposé comme exercice (I.34, page 37), avec une indication de solution,
    dans le livre Géométrie de Michèle Audin (Belin, Éditions scientifiques et culturelles, 1998). Je découvre donc un second ouvrage (après celui indiqué dans le commentaire de Âne Onyme ci-dessus)
    dans lequel il figure, ce qui semble appuyer l’idée que j’ai avancée en bas du texte que Sin Pan est un géomètre
    légendaire. Mais peu importe, Sin Pan ou pas, le problème en lui-même est un petit joyau qui se prête très bien
    à un cours, une séance de TD, un atelier... sur les transformations géométriques planes ou simplement à une petite discussion au « Café des maths ».

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    • Le problème de Sin Pan

      le 14 avril 2014 à 20:24, par Michèle Audin

      Merci Aziz pour cette information !

      Il serait dommage qu’une si belle publicité (gratuite !) pour un si joli exercice et un si bon livre fasse tomber les éventuelles lectrices et lecteurs sur un livre épuisé. La bonne référence (actualisée) est

      Géométrie, EdP-Sciences, 2005.

      L’exercice porte le numéro I.52 (c’est un des « exercices classiques » du chapitre I) et sa solution se trouve à la page 353.

      Michèle Audin

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  • Le problème de Sin Pan

    le 16 avril 2014 à 23:55, par Antoine Chambert-Loir

    Sin Pa est effectivement un grand géomètre chinois, connu pour sa correspondance fournie (mais pas entièrement déchiffrée) avec un autre géomètre, européen celui-là, Jean Ty.

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    • Le problème de Sin Pan

      le 17 avril 2014 à 16:16, par Aziz El Kacimi

      Merci pour cette information. Reste toutefois le problème d’avoir des références précises pour le situer dans le temps, avoir trace de ses travaux ou tout simplement sa correspondance avec Jean Ty. En googlant, je ne suis arrivé à retrouver ni l’un ni l’autre. Encore deux mortels fameux mais oubliés !

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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      • Le problème de Sin Pan

        le 25 février 2016 à 14:06, par Emmanuel Jacob

        Avec ses personnages Sin Pa et Jean Ty, Antoine est un agréable plaisantin. Il n’est pas étonnant que Google, qui n’a pas de sens de l’humour, ne les ait pas retrouvés !

        Cordialement,
        Emmanuel Jacob

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  • Le problème de Sin Pan

    le 22 avril 2014 à 14:33, par Pierre Lecomte

    En fait, j’avais posté sur mon blog (http://pierrelecomte.wordpress.com/2010/11/21/polygones-affines-reguliers-et-billards-elliptiques-ii/) une solution de ce problème (assez expéditive, utilisant le calcul barycentrique) vu l’intérêt qu’il présentait pour l’étude de ce que j’ai appelé les polygones affines réguliers. (Et plus généralement celle de certaines lignes polygonales régulières, dont j’ai parlé dans l’article A propos d’une équation de récurrence linéaire du numéro 14 de la revue Losanges de la Société belge des professeurs de mathématique d’expression française, paru en septembre 2011.) Les résultats que j’y énonce se généralisent facilement aux lignes polygonales affines régulières quelconques, comme je l’avais exposé à un congrès de cette société dont je n’ai malheureusement pas publié le texte (mais dont je dispose du beamer) que je tiens à la disposition de chacun.

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    • Le problème de Sin Pan

      le 23 avril 2014 à 15:28, par Aziz El Kacimi

      Merci pour l’information et pour le lien vers votre blog. J’y ai fait un tour et je l’ai trouvé intéressant et riche.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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  • Le problème de Sin Pan

    le 23 avril 2014 à 07:08, par Jerome

    Bonjour et merci pour cet article de qualité.

    Au niveau lycée, voici une condition nécessaire concernant la solution dans le cas $n$ impair.

    Puisque $M_1$ est le milieu de $[A_1A_2]$, $M_2$ est le milieu de $[A_2A_3]$, ... et $M_n$ est le milieu de $[A_nA_1]$, alors pour tout point $O$ du plan, on a :

    $\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}=2\overrightarrow{OM_1} \qquad$ (Ligne 1)

    $\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}=2\overrightarrow{OM_2} \qquad$ (Ligne 2)

    ...

    $\overrightarrow{OA_n}+\overrightarrow{OA_1}=2\overrightarrow{OM_n} \qquad$ (Ligne $n$)

    Puis en effectuant l’opération :

    Ligne 1 $-$ Ligne 2 $+$ Ligne 3 $- \dots +$ Ligne $n$

    puis en divisant par 2, on obtient :

    $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM_2}+\overrightarrow{OM_3}-\dots +\overrightarrow{OM_n}$

    C’est un peu laborieux mais ça permet de construire $A_1$ dans le cas $n$ impair uniquement à l’aide de relations vectorielles.

    Cordialement.

    Jerome

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  • Le problème de Sin Pan

    le 23 avril 2014 à 16:46, par Aziz El Kacimi

    Bonjour,

    Merci pour votre commentaire. J’ai usé de l’approche vectorielle
    pour donner les conditions d’existence du polygone $A_1\cdots A_n$ mais pas pour le construire !
    Au niveau du secondaire, c’est probablement plus accessible comme vous l’avez indiqué.
    C’est aussi plus astucieux !

    Mais je ne comprends
    pas pourquoi vous parlez de condition nécessaire : dans le cas $n$ impair, il y a toujours
    une solution quels que soient les points $M_1,\cdots ,M_n$ ; c’est d’ailleurs ce que dit
    votre formule :

    \[\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM_2}+\cdots +\overrightarrow{OM_{n-2}}-\overrightarrow{OM_{n-1}}+\overrightarrow{OM_n}.\]

    Je pense qu’au lieu de « Au niveau lycée, voici une condition nécessaire concernant la solution dans le cas n impair »,
    il aurait fallu écrire « Au niveau lycée, voici comment on peut déterminer le point $A_1$ dans le cas n impair ».

    Cordialement,

    Aziz

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    • Le problème de Sin Pan

      le 23 avril 2014 à 20:49, par Jerome

      Bonsoir,

      Merci pour l’intérêt porté à mon commentaire.

      Je parlais de condition nécessaire car j’ai supposé que $A_1$, $\dots$, $A_n$ existaient (et représentaient une solution du problème) pour écrire les relations des lignes 1 à $n$.

      Ces relations impliquent la relation $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM_2}+\overrightarrow{OM_3}-\dots +\overrightarrow{OM_n}$. Il ne me semblait pas avoir démontré l’équivalence.

      Mais je conviens volontiers que le pas à franchir n’est pas énorme.

      Cordialement.

      Jerome

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  • Le problème de Sin Pan

    le 5 mai 2014 à 14:24, par Monique Pencréach

    Bonjour,
    Merci pour votre article et aussi à tous pour les commentaires, notamment celui de Michèle Audin, tout ceci est très complet et intéressant.

    Je voulais juste signaler (vous dites ’rien sur internet’ en bref), j’ai trouvé un lien pas trop mal, où certaines des réponses successives, en forum, ne sont pas inintéressantes :

    http://www.ilemaths.net/forum-sujet-386831.html

    Bien cordialement
    Monique Pencréach

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    • Le problème de Sin Pan

      le 5 mai 2014 à 21:20, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour le lien mais c’est exactement celui que j’ai mis tout en bas de l’article.
      Je viens de revisiter le forum et je découvre seulement maintenant le petit œil avec "Cliquer
      pour afficher" (auquel je n’ai jamais fait attention auparavant) qui renvoie vers le texte. Un des messages
      postés propose effectivement une solution pour le pentagone.

      Le problème de Sin Pan n’est pas plus intéressant que d’autres (celui-ci par exemple). Ce qui le rend attrayant est cette légende qui l’entoure et le parfume. Mais je pense que c’est
      une très bonne chose qu’une solution claire et détaillée dans le cas le plus général ($n$-gone, convexe
      ou pas) puisse être mise quelque part et soit à disposition (et de manière accessible).

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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