10 avril 2009

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  • Sidereus Nuncius... aujourd’hui

    le 16 septembre 2013 à 15:51, par Damien Gayet

    Merci beaucoup pour ce double article, à la fois très beau et passionnant.

    Il me semble que l’article de O. Schramm et S. Sheffield : « Contour lines of the two-dimensional discrete Gaussian free field » va dans le sens d’une réponse à votre question finale. Dans leur cas, le modèle est un champ libre gaussien, un modèle qui décourage statistiquement les écarts de valeurs locaux en exponentielle de (moins) la somme au carré des écarts locaux de la fonction aléatoire. Ils supposent par ailleurs que la fonction est définie sur un carré, et conditionnée à valoir 1 sur deux arêtes contiguës et -1 sur les deux autres arêtes, ce qui force un lieu d’annulation (le terminateur) à avoir une composante connexe passant par les deux points de discontinuité. Le résultat est le suivant : quand le réseau voit sa taille diminuer, le terminateur ressemble de plus en plus à une courbe SLE(4). Donc par un résultat de V. Beffara, la dimension de Hausdorff est de 3/2 ! Dans le cas de la Lune, il faudrait plutôt une condition de bord au moins linéaire (par exemple le cercle de la Lune au lieu du carré, et la condition pour la fonction serait d’être nulle aux deux pôles i et -i du cercle, croissant à gauche jusqu’à -1 et décroissant à droite jusqu’à 1, non ?).

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  • Sidereus Nuncius... aujourd’hui

    le 21 septembre 2013 à 07:29, par Étienne Ghys

    Cher Damien,

    Merci pour ton commentaire et cette référence. Je vais regarder ça avec attention bien sûr.

    Cela dit, tu me parles de courbes de niveau d’un paysage (contour lines en anglais). C’est en effet dans le même esprit que la question que nous posons mais c’est assez différent quand même. Le terminateur est plutôt le contour apparent (je ne sais pas comment on dit ça en anglais), ce qui n’est pas tout à fait la même chose.

    Faut voir...

    Amitiés,

    Etienne

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