28 août 2015

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  • 4.1.18

    le 1er janvier 2020 à 21:01, par Hébu

    Dans le triangle $ABC$, on abaisse la hauteur $AD$. Soient $E$ et $F$ les projetés de $D$ sur $AB$ et $AC$. $H$ et $G$ dont les milieux de $AB$ et $AC$.

    Les points $F, G, E, H$ sont cocycliques.

    .
    La figure fait penser à, et l’argument est le même que 4.1.17 (puissance du sommet). En effet les triangles $ADB$ et $AED$ sont semblables : $AD/AE=AB/AD$, soit $AD^2=AB\times AE$.

    Le même raisonnement, pour $AFD$ et $ADC$, donne $AC\times AF=AD^2$.

    Remarquant que $AH=AB/2$ et $AG=AC/2$, on voit l’égalité des puissances : $H$ est bien sur un cercle qui passe par $E, G, F$.

    Document joint : idm4-1-18.jpg
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