30 août 2015

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  • 4.1.20

    le 2 janvier 2020 à 15:56, par Hébu

    Dans le triangle $ABC$, on trace les hauteurs $AF$, $BE$ et $CD$, concourantes en $H$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $A$ sur $DE$. On prolonge la droite $AK$, en y plaçant le point $A'$ tel que $AK=KA'$.

    Le cercle qui passe par les points $F, H, A'$ passe aussi par $O$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

    .
    Un résultat classique dit que les rayons $OA, OB, OC$ sont perpendiculaires aux côtés $DE, DF, EF$ du triangle orthique. Faut-il ici utiliser ce résultat ?

    On peut aussi le redémontrer en passant. Prolongeons $AK$, qui va couper le cercle circonscrit en un point $J$.

    Comme dans plusieurs figures précédentes, les triangles $ADE$ et $ACB$ sont semblables. Conséquence, $\widehat{JAC}=\pi/2-\widehat{B}$, et puisque $\widehat{AJC}=\widehat{B}$, alors $\widehat{ACJ}=\pi/2$ : $AJ$ est un diamètre du cercle circonscrit, et $O$, le centre, est le milieu de $AJ$.

    .

    Les triangles $CJA$ et $DHA$ sont semblables ($\widehat{CJA}=\widehat{B}=\widehat{AHD}$) donc $AJ/AH=AC/AD$.

    De même, les triangles $FAC$ et $KAD$ sont semblables (angles en $A$ complémentaires de $\widehat{C}$), donc $AF/AK=AC/AD$.

    Rapprochant les deux résultats, on écrit $AJ/AH=AF/AK$ soit $AH\times AF=AJ\times AK$ : les points $J, F, K, H$ sont cocycliques, l’égalité exprime la puissance du point $A$ par rapport à ce cercle.L

    .
    On considère alors le cercle passant par $F, H$ et $A'$. La puissance de $A$ s’écrit $AF\times AH$, soit $AJ\times AK$. Mais avec $O$ le centre du cercle circonscrit, $AJ=2\times AO$, et d’autre part $AK=AA'/2$. Il en résulte que $AH\times AF=AA'\times AO$.

    Cela signifie que $O$ se situe sur ce cercle.

    Document joint : idm4-1-20-2.jpg
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