L’aire du triangle QPC est 10 cm² et je laisse à chacun le plaisir de retrouver ce résultat par la méthode qu’il préférera.

En notant les angles en degrés, on a d’abord :
$\widehat{APQ} + \widehat{QPC} + \widehat{CPB} = \widehat{APB} = 180$ car $P$ est sur $[AB]$.
$\widehat{DCQ} + \widehat{QCP} + \widehat{PCB} = \widehat{DCB} = 90$ car $ABCD$ est un carré.

En additionnant on obtient :
$\widehat{APQ} + \widehat{DCQ} + \widehat{QPC} + \widehat{QCP} + \widehat{CPB} + \widehat{PCB} = 270$ (1)

Comme $AQ=CQ$, le point $Q$ est sur la médiatrice de $[AC]$, qui n’est autre que la droite $(BD)$. Donc les triangles $DAQ$ et $DCQ$ sont symétriques par rapport à $(BD)$, et par conséquent $\widehat{DAQ} = \widehat{DCQ}$.

Par ailleurs le triangle $AQP$ est isocèle en $Q$ donc $\widehat{APQ} = \widehat{QAP}$. Du coup :
$\widehat{APQ} + \widehat{DCQ} = \widehat{QAP} + \widehat{DAQ} = \widehat{DAP} = 90$.

Comme la somme des angles d’un triangle fait toujours $180$, on a aussi :
$\widehat{QPC} + \widehat{QCP} = 180 - \widehat{CQP}$
$\widehat{CPB} + \widehat{PCB} = 180 - \widehat{PBC} = 180 - 90 = 90$

En reportant tous ces résultats dans l’équation (1), on obtient $\widehat{CQP} = 90$. Le triangle $CQP$ est rectangle et isocèle en $Q$ donc c’est la moitié d’un carré. Son aire est donc $\frac{QP^2}{2}$.

D’après le théorème de Pythagore on a $QP^2 + QC^2 = PC^2$, qui devient $2QP^2 = PC^2$, d’où $\frac{QP^2}{2} = \frac{PC^2}{4}$.

Pythagore donne encore $PC^2 = PB^2 + BC^2$.
On sait déjà que $BC=6$.
On sait aussi que $AP = 2PB$ et $AB = 6$ donc $PB=2$.
Donc $PC^2 = 2^2 + 6^2 = 40$.

L’aire du triangle est donc $\frac{QP^2}{2} = 10$cm².

Bon, c’est un peu long à mon goût... Quelqu’un a plus simple ?

Bonsoir, il suffit de placer le carré dans un quadrillage à mailles carrées de 2cm de côté.
Les points A, P et C sont les sommets de 3 rectangles 2 sur 1 avec le même point servant de sommet diagonalement opposé, c’est donc Q. Les 2 rectangles de sommets respectifs P et C se déduisent l’un de l’autre par une rotation de 90° ce qui fait de QPC un demi-carré dont l’aire est QP²/2= (2²+4²)/2=10 (merci au pont aux ânes)

(j’ai essayé de ne ni lire ni survoler les solutions précédentes)

J’ai trouvé 10 (5/18 du côté dans le cas général). Il m’a fallu plus de temps pour montrer que QPC était un triangle rectangle que pour conclure.

Merci pour ce charmant exercice qui va se retrouver dans ma compilation de problèmes ouverts,
amicalement,

F.D.

Bonjour à toutes et à tous,

ma solution n’est probablement pas la plus élégante aux yeux d’un véritable géomètre mais néanmoins rapide.
Utilisions un repère orthonormé, de sorte que A(0,0) B(6,0) C(6,6) et D(0,6). Alors, d’après l’énoncé, P(4,0). notons x et y les coordonnées de Q. Il est facile de se convaincre que Q est sur la droite (BD), médiatrice de [AC] (puisque Q est équidistant de A et C). On a donc y=6-x. (équation de la droite BD). Par ailleurs, puisque QA = QP, on a aussi x²+y²=(x-4)²+y² ie 8x-16=0 donc x =2. en reportant il vient y = 6-2=4. On sait maintenant où est Q.

on vérifie facilement que QP²=QC²=QA²=x²+y² = 20. Or PC² = 2²+6²=40 = QP²+QC² donc le triangle QPC est rectangle en Q. IL en résulte que l’aire cherchée vaut QP*QC/2 = 20/2=10.

Aire(QPC) = Aire(ABPQ) - Aire(PBC) - Aire(CQD) - Aire(DQA) - Aire(APQ)
Toutes les aires des triangles sont faciles à calculer puisqu’on connait leur base et leur hauteur :
Aire(QPC) = 6² - 6 x 2 / 2 - 6 x 2 / 2 - 6 x 2 / 2 - 4 x 4 / 2 = 36 - 6 - 6 - 6 - 8 = 10

Bonsoir, je reprends le quadrillage qui donne rapidement la place de Q. (mailles carrées à 2cm et donc unité d’aire à 4 cm²). Le théorème de Pick donne une solution simple : 3 points en frontière et 2 points intérieurs donc l’aire est (2 + 3 / 2 - 1) * 4cm²= 10 cm².

Je propose une solution à caractère nettement géométrique qui ne nécessite pas de situer précisément le point Q, il suffit de savoir qu’il est sur la médiatrice de [AP] et sur celle de [AC] qui forment un angle de 45°. [QP] a pour symétrique [QA] par rapport à la première et [QA] a pour symétrique [QC] par rapport à la deuxième. La composée de 2 symétries axiales est une rotation dont l’angle est le double de l’angle des axes donc ici 90°. QPC devient un demi-carré dont je calcule l’aire par la sa diagonale CP (A=D²/2) .

L’aire QPC est CP²/4= (CB²+BP²)/4=(36+4)/4=40/4=10.

Naturellement je suis fort loin de la rapidité de Daniate avec la formule de Pick.