12 août 2016

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  • Août 2016, 2e défi

    le 12 août 2016 à 17:39, par orion8

    Bonjour. En utilisant des triangles de même hauteur, et Thalès, je trouve $\dfrac{2}{27}$. Confirmez-vous ?

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    • Août 2016, 2e défi

      le 12 août 2016 à 22:18, par Daniate

      Bonsoir, je confirme, surpris que personne n’ait donné la réponse plus tôt.

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      • Août 2016, 2e défi

        le 13 août 2016 à 10:01, par orion8

        Solution proposée

        Nommons $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $AXZ$

        Comme $XY=2AX$, et que $AXZ$ et $XYZ$ ont même hauteur, l’aire de $XYZ$ est $2\mathscr{A}$.

        Par Thalès, il vient $ZC=2ZA$ car $(ZX)$//$(YC)$ ; comme $AYZ$ et $ZYC$ ont même hauteur, l’aire de $ZYC$ vaut deux fois celle de $AYZ$, soit $2\times(\mathscr{A}+2\mathscr{A})=6\mathscr{A}$.

        On montre de même que l’aire de $YBC$ vaut deux fois celle de $AYC$ car, par Thalès, $YB=2YA$. Soit $2\times(3\mathscr{A}+6\mathscr{A}) = 18\mathscr{A}$.

        L’aire de $ABC$ vaut donc : $\mathscr{A}+2\mathscr{A}+6\mathscr{A}+18\mathscr{A}=27\mathscr{A}$. L’aire cherchée étant $2\mathscr{A}$, il vient bien : $2\mathscr{A}= \dfrac{2}{27}$ .

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