8 février 2017

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  • Les courbes en créneaux

    le 9 février 2017 à 20:13, par Idéophage

    Il faut montrer qu’on a des petits carrés. Il faut se servir quelque part du fait qu’il y a un nombre fini de pas (un argument global) car sans ça on peut construire des courbes infinies qui localement (sur toute région bornée) sont valides mais ne sont pas des créneaux (i.e. on n’a pas les petits carrés).

    On peut remarquer que le graphe en jeu est biparti. On peut colorier les points entiers du plan en noir et blanc comme sur un échiquier de telle manière que lorsqu’on parcourt la courbe (dans un certain sens), la couleur du point sur lequel on est détermine si on se déplace horizontalement ou verticalement. Ainsi, chaque arête ne peut être parcourue que dans un seul sens.

    Avec ça, on peut montrer que l’intérieur est constitué de petit carrés. Prenons un angle entrant de la courbe et considérons le carré correspondant. Il faut montrer qu’aucune de ses arêtes n’est dans la courbe. Pour les deux arêtes touchant l’angle entrant, c’est direct. Pour les deux autres, cela vient du fait que si elles faisaient partie de la courbe, alors leur sens de parcours serait tel qu’on devrait s’enfermer sans pouvoir rejoindre l’autre bout.

    Une autre manière de voir la chose est qu’à chaque coin rentrant doit correspondre quatre autre coins rentrants (i.e. un petit carré intérieur). On part alors d’un coin rentrant (s’il n’en existe pas c’est qu’on a affaire à un carré) et on construit progressivement le créneau (exactement la même chose qu’avec les carrés intérieurs).

    J’avais cherché une preuve et j’avais fait avec une ligne verticale qui balaye le plan de gauche à droite. On montre qu’on est forcé de construire progressivement un créneau, grâce au même argument avec le graphe biparti. Ça revient au même mais en moins bien organisé.

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    • Les courbes en créneaux

      le 9 février 2017 à 20:21, par Idéophage

      En tout cas je ne trouve pas ça évident…

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  • Les courbes en créneaux

    le 10 février 2017 à 09:39, par Sylvain Barré

    Bonjour,
    Je suis content que vous vous soyez pris à ce jeu. La courbe est supposée fermée (donc finie) et simple (pas de point d’auto-intersection). À l’intérieur, il peut ne pas y avoir de carré bleu, c’est alors une réalisation de 4 pinces, comme sur la photo du début. Je crois toujours que cette preuve est « évidente », pas dans le sens triviale, mais plutôt dans le sens qu’on comprend avec une idée simple pourquoi le résultat est vrai ! Moi aussi, j’avais d’autres preuves un peu tordues, mais j’avais toujours l’impression d’avoir possiblement oublié un cas... et surtout je n’étais pas satisfait.
    Oui, vous avez raison, il y a quelques points non précisés : les courbes bleues intérieures sont fermées simples et ne peuvent pas elles-mêmes avoir des courbes noires dans leur intérieur, donc sont des carrés...
    Merci pour toutes ces remarques !
    Sylvain

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    • Les courbes en créneaux

      le 11 février 2017 à 20:09, par Idéophage

      Oui, vous avez raison, il y a quelques points non précisés : les courbes bleues intérieures sont fermées simples et ne peuvent pas elles-mêmes avoir des courbes noires dans leur intérieur, donc sont des carrés...

      Ah oui, après réflexion je rejoins votre avis : c’est évident. Merci !

      L’argument permet d’ailleurs de mieux comprendre les pavages du plan par des pliages. Si on s’autorise les pliages infinis alors un pavage est simplement le choix d’une parité pour chaque droite horizontale et verticale à position entière. Les segments de chaque droite sont coloriés en noir ou bleu une fois sur deux. La difficulté est de prendre en compte que les chemins sont tous fermés.

      On appelle « pliage imbriqué » un pliage dont l’intérieur est pavé par d’autres pliages.
      Un pliage imbriqué est constitué d’un premier chemin fermé (le pliage extérieur) avec d’autres chemins fermés à l’intérieur (les sous-pliages, qui eux-même peuvent avoir un intérieur pavé, récursivement). Entre le premier chemin et ses sous-chemins se trouve un ensemble de chemins correspondant à des pliages (dans le cas où l’intérieur est vide, ce sont des carrés). On vérifie récursivement qu’il s’agit de courbes de pliages dont l’intérieur est pavée par d’autres pliages. On se retrouve donc avec deux ensembles de chemins emboîtés (par exemple en noir et bleu).

      Le nombre de petit carrés d’un pavage du plan est fini si et seulement si le pavage s’obtient à partir d’un pliage imbriqué en l’étendant de la seule manière possible sous hypothèse qu’il n’y a pas de petit carrés supplémentaire (il se peut qu’on arrive à une contradiction). On peut par exemple partir d’un certain ensemble de chemins carrés (noirs ou bleus) et regarder comment on peut prolonger (en supposant que ce sont les seuls carrés par exemple).

      Je ne sais pas trop ce qu’on peut en dire. Ça donne des dessins marrants en tout cas. Un programme informatique pour explorer les possibilités serait peut-être intéressant.

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      • Les courbes en créneaux

        le 12 février 2017 à 09:40, par Sylvain Barré

        Oui, ces pliages imbriqués doivent donner de belles images, qu’il est certainement intéressant de comprendre plus précisément....

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  • Les courbes en créneaux

    le 18 février 2017 à 07:37, par Michel Marcus

    Bonjour, Avez-vous des liens sur ce sujet ? Merci.

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    • Les courbes en créneaux

      le 19 février 2017 à 10:25, par Sylvain Barré

      Bonjour,

      Sur les surfaces de translation et origami, regardez la magnifique thèse de David Zmiaikou soutenue en 2011 sous la direction de Jean-Christophe Yoccoz.
      Pour les courbes en créneaux, je n’ai vu cela nulle part.
      Bonne lecture !
      Sylvain

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