13 janvier 2017

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  • Janvier 2017, 2e défi

    le 13 janvier 2017 à 06:42, par Elrigo

    2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 sont cinq puissances de deux qui ne peuvent se trouver deux à deux dans le même ensemble. Donc il y a au minimum cinq ensembles.

    Par exemple :
    2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31
    4 ; 6 ; 9 ; 10 ; 14 ; 15 ; 21 ; 22 ; 25 ; 26
    8 ; 12 ; 18 ; 20 ; 27 ; 28 ; 30
    16 ; 24
    32

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  • Janvier 2017, 2e défi

    le 13 janvier 2017 à 08:50, par Idéophage

    Voir le théorème de Mirsky : https://en.wikipedia.org/wiki/Mirsky’s_theorem (c’est d’ailleurs l’exemple pris sur Wikipédia)

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  • Janvier 2017, 2e défi

    le 13 janvier 2017 à 09:10, par Al_louarn

    On peut généraliser à tout ensemble $\{2,3,...,n\}$. Soit $m$ l’exposant de la plus grande puissance de $2$ inférieure ou égale à $n$ : $2^m \leq n < 2^{m+1}$.

    Il faut au moins $m$ sous-ensembles pour accueillir les $m$ puissances de $2$ inférieures ou égales à $n$ (et supérieures à $1$).

    Ensuite, pout tout $k \leq m$, on regroupe avec $2^k$ tous les nombres ayant exactement $k$ facteurs premiers (pas forcément distincts). En effet prenons deux nombres $a$ et $b$ tels que $a < b$. Si $b$ est multiple de $a$, alors $b$ a strictement plus de facteurs premiers que $a$. Donc à l’inverse si $a$ et $b$ ont le même nombre de facteurs premiers, $b$ ne peut pas être multiple de $a$.
    Pourrons-nous ranger tout nombre $r \in \{2,3,...,n\}$ dans un des $m$ sous-ensembles obtenus ? Oui car si $r$ a au moins $m+1$ facteurs premiers, alors $r \geq 2^{m+1}$ et donc $n < r$. Donc à l’inverse si $r \leq n$, il a au plus $m$ facteurs premiers.

    Donc $m$ est le nombre minimal de sous-ensembles nécessaires.

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    • Janvier 2017, 2e défi

      le 16 janvier 2017 à 07:22, par ROUX

      Très belle construction-démonstration : je viens de m’amuser avec ;) !

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  • Janvier 2017, 2e défi

    le 28 janvier 2017 à 21:13, par jb54

    On peut décomposer cet ensemble en :
    . S1 comprenant les nombres premiers
    . S2 comprenant les nombres facteurs de 2 nombres premiers
    . S3 comprenant les nombres facteurs de 3 nombres premiers
    . S4 comprenant les nombres facteurs de 4 nombres premiers
    . S5 comprenant les nombres facteurs de 5 nombres premiers

    Ce qui donne :
    S1 = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31
    S2 = 4,6,9,10,14,15,21,22,25,26
    S3 = 8,12,18,20,27,28,30
    S4 = 16,24
    S5 = 32

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