Considérons les 5 tranches du cube.
La tranche supérieure comporte 25 cubes (tous extérieurs) dont 13 noirs et 12 blancs.
Les 3 tranches intermédiaires comportent chacune 16 cubes extérieurs dont 8 noirs et 8 blancs.
La tranche inférieure comporte 25 cubes (tous extérieurs) dont 13 noirs et 12 blancs.

Il y a donc au total 50 cubes noirs et 48 cubes blancs.
La différence est par conséquent égale à 2.

CUBE à n*n*n cubes.
Construction des faces.
2 faces à n*n cubes.
(n+1)/2 lignes à +1 cube noir et (n-1)/2 lignes à -1 cube noir, soit un bilan de +1 cube noir par face.
2 faces à n*(n-2) cubes.
(n+1)/2 lignes à -1 cube noir et (n-1)/2 lignes à +1 cube noir, soit un bilan de -1 cube noir par face.
2 faces à (n-2)*(n-2) cubes.
((n-2)+1)/2 lignes à +1 cube noir et ((n-2)-1)/2 lignes à -1 cube noir, soit un bilan de +1 cube noir par face.
Le bilan est 2 cubes noirs en plus.
Le résultat demandé est : +2.

Nombre de cubes extérieurs = 3n²-12n+8.
Nombre de cubes noirs = 3n²-6n+5.
Nombre de cubes blancs = 3n²-6n+3.
Noirs - Blancs = 2.

Erratum : Nombre de cubes extérieurs = 6n²-12n+8, évidemment !

Et le résultat reste 2 pour n’importe quel pavé droit de dimensions impaires.

Bonjour

Le résultat peut s’obtenir sans calcul. Il suffit de placer deux araignées aux centres de deux faces opposées (cube noir puisque sur la diagonale d’une face). Elles se déplacent d’un cube à la fois, simultanément et en restant symétriques par rapport au centre du cube, formant d’abord une spirale sur une face, puis une fois cette spirale achevée passant à la couche contiguë (cube blanc au début, noir à la fin) et recommencent jusqu’à rencontrer un cube déjà exploré par l’autre. Ce cube est forcément blanc puisque au début d’une couche donc elles s’arrêtent sur un cube noir. Chaque chemin compte un cube noir de plus, et à elles deux elles ont parcouru tous les cubes de la surface du cube. La méthode s’applique à tout cube dont l’arête est impaire. Pour les pavés droits on remplace la spirale du début par un zig-zag en partant d’un sommet.

La ressemblance avec la relation d’Euler SA=2 conduit à une autre démonstration sans calcul. Enlevons les sommets (noirs), il reste sur les arêtes un blanc de plus. Reste des faces sans sommets et sans arêtes sur lesquelles on pose des dominos noir-blanc jusqu’il reste le centre (noir) . La relation d’Euler donne la réponse.

Joli problème et plein de belles démonstrations !

Une variante que j’aime bien consiste à ne colorier que les sommets et les arêtes. Certaines des démonstrations restent valable pour ce cas, mais pas toutes, et le résultat (plus de cubes blancs que de cubes noirs) est peut-être moins intuitif.