(C) un cercle, de centre O. D’un point A, extérieur, on trace deux sécantes qui coupent (C) respectivement en B, C et D, E. Les perpendiculaires en B, C, D, E, se croisent en M et N (disons, M à gauche, N à droite).

Alors, les angles MAC et NAE sont égaux.

Pour la preuve, je trace le cercle (C’) de diamètre AM, qui passe par B et C à cause des angles droits. De même un cercle (C’’) de diamètre AN passant par D et E.

• les angles CAE, DMC, BNE sont égaux (les deux angles da sommet M et N construits sur les perpendiculaires au premier) - sans utilité pour la suite !
• les angles AMD et BNA sont égaux (AMD=ACD sur (C’), ABD=BED sur (C), BED=BNA sur (C’’).
• dans les triangles rectangles MDA et NBA, les angles MAD et BAN sont donc égaux

Par différence, CAE étant commun à ces deux angles, on a bien MAC=NAE

Une autre propriété, les deux cercles (C’) et (C’’) se coupent en un point H, qui se trouve sur le segment MN — et AH est hauteur de A sur MN.

Plus compliqué (et là je sèche), BE et CD se coupent sur AH ; et O, centre du cercle (C) est milieu de MN