Comment je comprends la figure :
Un cercle, centre O, un point A extérieur, les tangentes AB et AC au cercle.

Un point qualconque M sur le cercle, depuis lequel on trace les droites MB et MC.
Depuis le point A on mène les perpendiculaires AJ à MN et AK à MC.

Sur ces perpendiculaires, P est le symétrique de A par rapport à J,
Q celui de A par rapport à K. (si on préfère JP=AJ, KQ=AK)

« L’énigme à résoudre » serait alors << Les segments PQ et BC se coupent leur milieu >>

J’aurais une solution, qui me semble un peu laborieuse :

1/ AJB et PJB sont deux triangles rectangles égaux. Donc PB=AB. Comme AB=AC, on a PB=AC

De même, AKC et QKC sont égaux, d’où AC=CQ.

Finalement PB=QC=AB=AC

2/ Les segments PB et CQ sont parallèles.
Pour le voir, on prolonge QC, qui vient couper AP en un point R.
On montre alors que ARQ=APB (les angles) :

• B et C sont les points de tangence, ABOC est un quadrilatère inscriptible, et BAC+BOC=\pi
  Soit encore BAC+2*BMC=\pi
• AJMK est aussi inscriptible, et PAQ+BMC=\pi.
• Rapprochant ces deux résultats, on obtient BMC=PAB+CAQ
• L’angle ARQ vaut ARQ=\pi-PAQ-AQC=BMC-AQC ;
• et puisque CAQ=AQC, on obtient finalement ARQ=PAB
• PAB=APB, ce qui achève de prouver le parallélisme.

Preuve probablement trop lourde !

3/ Le quadrilatère PBQC dont les côtés opposés sont égaux et parallèles, est un parallélogramme.
Ses diagonales se coupent en leur milieu - je note S le point de concours : PS=SQ, BS=SC

Remarque. S est le milieu de BC : Il en résulte que AS passe par O, centre du cercle. Le point S est fixe quand M se déplace sur le cercle. Et l’angle PAQ est constant (\pi-BMC soit \pi/2+BAC/2)