18 de octubre de 2018

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  • Peut-on définir l’esprit mathématique ?

    le 31 de octubre de 2018 à 19:50, par Valerio Vassallo

    Cher Lecteur,

    Merci pour vos remarques auxquelles je suis très sensible.

    Je reste sur l’idée que les mathématiques ne sont pas simplement un outil au service de ... (des ingénieurs, de la physique, de la chimie, de la biologie,...) mais soient aussi un système de pensée bien particulier dont le développement dépend aussi des autres disciplines. Et plus que ça.

    D’une part, il s’agit d’un système de pensée car il est organisé en axiomes, postulats, notions primitives, définitions, théorèmes, corollaires, lemmes,... avec des règles bien précises, empruntées à la logique, pour déduire un résultat d’un autre.

    On pourrait alors faire une analogie avec l’organisation d’un état avec ses lois, ses règles, ses définitions, .... ou la route et son code ou encore l’échiquier avec ses règles... et se dire que pour certains aspects les mathématiques ne sont pas si originales que ça... Et pourtant...

    Je reviens aux mathématiques. L’exemple le plus facile à donner est celui de la géométrie : les axiomes d’Euclide, le postulat des parallèles, la notion de point, droite, plan, espace, la définition du segment ou du polygone ou encore la définition du cercle, le théorème sur la somme des angles internes dans un triangle, ... ; l’arithmétique, l’analyse, la théorie des catégories ou la géométrie algébrique, l’analyse complexe, les probabilités, ... sont également des domaines organisés de la même façon.

    Quand on a fait un peu le tour d’un ou plusieurs de ces domaines ... on trouve presque que cette organisation interne des mathématiques est naturelle, normale, tellement normale qu’on a du mal presque à comprendre que les «autres» - les non scientifiques ou les «mauvais» élèves ... - soient étonnés d’une telle construction et que soient même perdus dans l’apprentissage. Et pourtant ...

    Vous-même, vous dites que le postulat d’Euclide ou le théorème de Pythagore étaient pour vous «une évidence» . Et c’est là que j’ai cherché à mettre le doute chez les lecteurs : est-ce vraiment un ensemble d’évidences toutes ces «choses» qui nous semblent, à nous déjà imprégnés, d’une façon ou d’une autre, de cet esprit mathématique, assez claires... ? Pourquoi alors, selon vous, des mathématiciens comme Proclus, Saccheri, Legendre, ... Lobachevsky, ont autant retourné le 5ème postulat d’Euclide s’ils avaient affaire à des évidences ? Pourquoi dans certaines géométries non-euclidiennes les «droites» sont des cercles ou des arcs de cercle ? C’est dans des coins comme ça de la pensée que je trouve que l’esprit mathématique est non seulement attiré par l’abstraction mais par d’autres forces d’ attraction qui font que cet univers mathématique soit très riche et composé de mille facettes.

    J’imagine alors, par exemple, que votre fils, lors de l’apprentissage des mathématiques modernes, pouvait rencontrer des difficultés à appréhender la notion de groupe, de corps, d’espace vectoriel... J’en conviens volontiers que la notion de groupe soit facile à comprendre.

    Cette aberration, comme vous dites, des maths modernes pouvait toutefois ne pas en être une si, je dis bien «si», des explications étaient davantage données pour motiver l’introduction de telle ou telle notion. J’ai l’impression que même à l’université on risque, en passant par des définitions formelles, de tomber dans le même piège ! Je peux regretter moi-même que parfois j’ai commencé un cours de théorie des groupes en disant : soit (G, .) un ensemble G muni de la loi . telle que etc. etc. etc. puis donner quelques exemples alors que j’aurais pu commencer par parler des transformations du plan... puis montrer comment ces transformations s’organisent entre elles.

    Je viens d’ouvrir une parenthèse. Il y a l’esprit (ou les esprits) mathématique - ce que d’habitude est nommé «tournure d’esprit» ou encore «bosse des mathématiques» - et il y a l’enseignement des mathématiques et l’art de transmettre cet esprit mathématique ou les esprits mathématiques. Il y a quelques jours, invité dans une classe de sixième pour des expérimentations didactiques, une élève me demandait pourquoi entre deux points A et B d’un segment AB il y aurait une infinité de points. Pourquoi ? Elle pensait qu’il y en avait une dizaine puisque auparavant nous avions tracé une dizaine en guise d’exemple de points entre A et B. Et pourtant la notion de segment semblerait plus facile que la notion de groupe...

    À l’intérieur d’une théorie mathématique, à vous étonner vous pouvez encore y ajouter ... les paradoxes ! Certains sont connus depuis l’antiquité (Zénon, Achille et la tortue, ...), d’autres sont plus récents (Banach-Tarski, Russell, ...).

    Je suis loin d’avoir fait le tour de la question de la complexité des mathématiques, sans que celle-ci n’enlève rien à la complexité d’autres domaines du savoir. Vous citez les langues et j’ai bien aimé cette comparaison étant bilingue (français et italien). À partir de quel moment nous maîtrisons parfaitement une langue y compris sa propre langue maternelle ? Plusieurs expériences à ce sujet, y compris en échangeant avec des experts, m’ont montré que bien maîtriser une langue est loin d’être chose facile !

    Lors d’un cours de mathématiques, et à n’importe quel niveau, cette organisation (axiomes, définitions, théorèmes, exemples, paradoxes, ...) est difficile à transmettre. Sinon, pourquoi autant de difficultés à comprendre la notion de nombre, les fractions, la règle de trois, le théorème de Thalès,... ? C’est comme si, pour chacune de ces notions il y avait une difficulté propre, il y aurait un état d’esprit à avoir pour l’apprivoiser.

    Et je ne vous parle pas lorsque dans certaines démonstrations on rajoute 0 car rajouter +a - a permets d’avancer sur un calcul ou multiplier par +1 est avantageux puisque la présence de a/a se révèle pratique ... ou lorsque dans certaines démonstrations géométriques on rajoute par exemple une droite pour faire apparaître une parallèle ou un angle ou lorsque dans certains calculs de primitives on effectue des changements de variables très astucieux.

    Parlons encore d’un outil - les mathématiques - ou d’un domaine de la connaissance, vaste et complexe, certainement organisé, mais où errent un esprit, plusieurs esprits, ...? Je m’interroge toujours.

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