ABCD est un trapèze isocèle , O est le centre du cercle circonscrit, E et F sont les milieux des 2 bases . Les deux cercles de centres E et F le premier passant par A, l’autre par D sont sécants en G et H. (EF) coupe (GH) en I .Le problème se ramène à montrer que OF=EI.

Je n’ai trouvé qu’une méthode calculatoire où le th de Pythagore se taille la part du lion. Pour simplifier je note r et R les rayons des cercles en E et F, et h = EF la hauteur du trapèze.

AOE et DOF sont deux triangles rectangles avec AO = DO donc OF² + R² = OE² + r²
d’où OE² - OF² =R² - r² or OE² - OF² = h(h - 2OF)

Les triangles rectangles GIF et GIE donnent R² - iF² = r² - IE²
d’où IF² - IE² = R² - r² or IF² - IE² = h(h - 2IE)
On en tire h(h - 2OF) = h(h - 2IE) et donc OF = IE