ABCD un quadrilatère circonscriptible. O est le centre du cercle inscrit. E,F,G et H sont les points de contacts du cercle avec les côtés. La diagonale (BD) coupe le cercle en M et N dont le milieu est L . Il s’agit de démontrer que (LB) est la bissectrice de $\widehat {ALC}$.

Les droites (EF) et (GH) se coupent en I , (EH) et (FG) se coupent en J, (EG) et (FH) en K.

Vu du point I, B et D sont les points d’intersections des tangentes aux points d’intersection de deux sécantes au cercle passant par I . (BD) est donc la polaire de I par rapport au cercle. La même démonstration côté J montre un résultat remarquable : I est un point de (AC), J un point de (BD) et K est l’intersection entre les deux diagonales.

Les 4 droites issues de B passant par A,D,C et I forment un faisceau harmonique donc K et I divisent harmoniquement A et C.

(OI) est perpendiculaire à la polaire (BD) et donc à la corde [MN] qu’elle coupe en son milieu L . L est un alors un point du cercle de diamètre [KI]. Or on a vu dans une fsp précédente que si K et I divisent harmoniquement A et C alors pour tout point L du cercle de diamètre [KI] (LK) et (LI) sont les bissectrices de $\widehat {ALC}$.