Bonsoir,

Ce que je lis dans leur prépublication (et ce que m’a confirmé Smirnov ce soir au pot offert par la délégation du Canada !), c’est que ce résultat avait été prévu « heuristiquement » par des physiciens en 1982 et qu’on en attendait une justification de puis 28 ans...

Etienne

En effet, il faudrait justifier...

Images de Maths est en train de chercher un auteur qui pourrait nous faire un joli article sur la question....

Amitiés,

Etienne

En espérant ne pas raconter trop de bêtises...

La question des chemins auto-évitants se retrouve quand, dans un milieu de dimension 2 (par exemple une membrane), on s’intéresse à des polymères (des chaînes de molécules) ou à des frontières. Dans le cas de la polymérisation, la valeur de c est liée à la température à partir de laquelle la molécule cesse de polymériser en bloc, c’est-à-dire qu’au lieu de faire une grande chaîne elle en fait plein de petites.

Autant que je sache, ce qui intéresse Smirnov ce n’est pas tant la valeur de c qui l’intéresse, que la façon dont F(N) diffère de c^N. En effet, on soupçonne le quotient F(N)/c^N de croître comme une puissance bien précise de N (je ne sais plus combien au juste, peut-être N^[11/32]). (Cela dit, pour l’instant Smirnov n’a pas réussi à mener cette seconde étape à bien). Cet exposant « 11/32 » serait universel, c’est-à-dire qu’il ne dépend pas de savoir si le réseau est fait d’hexagones, de carrés, de triangles ou n’importe quoi (alors que la valeur de c, elle, en dépend). De même que la valeur de c est liée à la température de transition de phase, la valeur de « 11/32 » exprime la façon dont le système se comporte au voisinage de cette transition. On pourrait considérer que c’est du pinaillage, mais en fait toute la physique des interfaces étudie précisément ce qui se passe pile au niveau des transitions.

Tous ces résultats s’expliquent en fait dans une théorie (assez abstruse) que les physiciens ont développée heuristiquement : ils se sont dits « il est vraisemblable que tel truc se comporte de telle manière, et dans ce cas on a forcément un exposant qui vaut 11/32 ». Le problème est qu’on n’a pas de démonstrations des suppositions heuristiques en question (qui sont très difficiles à prouver, voire à... énoncer proprement !), donc il faut trouver un moyen de rendre rigoureux l’argument des physiciens ou de le contourner. Le résultat sur la constante de connectivité est un premier pas important qui montre qu’on peut arriver à prouver de façon complètement rigoureuse certaines heuristiques des physiciens, et surtout met en lumière des méthodes pour le faire.

Concernant la difficulté du problème : oui, c’est un problème très difficile, et si la question est restée ouverte aussi longtemps après avoir été formulée ce n’est certainement pas parce qu’elle n’intéressait pas les gens ! Cela dit la démonstration de ce problème est « relativement facile », au sens où on peut l’exposer quasi complètement en une heure... sauf qu’elle fait appel à l’introduction d’un objet complètement étrange (une « observable parafermionique ») qu’il fallait avoir une sacrée perspicacité pour définir et étudier !!